北京化工大学：《数学建模》课程教学资源（课件讲稿）第三章 差分方程模型 第一节 贷款买房和市场经济中的蛛网模型

差分方程模型 0差分方程及其解 1减肥计划—节食与运动 2贷款买房 3市场经济中的蛛网模型 款学建模

0 差分方程及其解 1 减肥计划——节食与运动 2 贷款买房 3 市场经济中的蛛网模型 差分方程模型

0差分方程及其解 把含有未知函数的差分或表示成未知函数若 干不同时期值的符号的方程称为差分方程。 F(x,y,y41,…,y+n)=0 G(x,y,y-1,…,y-n)=0 H(x,y,Ay,…,△”y)=0 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的 差数称为差分方程的阶。 数学建模

0 差分方程及其解 把含有未知函数的差分或表示成未知函数若 干不同时期值的符号的方程称为差分方程。 ( , , , , ) 0 F x yi yi+1  yi+n = G(x , yi , yi−1 ,  , yi−n ) = 0 ( , ,  , ,  i ) = 0 n i i H x y y  y 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的 差数称为差分方程的阶

差分方程及其解 差分方程的解：若一个整标函数代入差分方程后 方程两端恒等 差分方程的通解：如果解中所含相互独立的任意 常数的个数等于方程的阶数 特解：满足初始条件、不含任意常数的解。 数学建模

差分方程及其解 差分方程的解：若一个整标函数代入差分方程后， 方程两端恒等 差分方程的通解：如果解中所含相互独立的任意 常数的个数等于方程的阶数 特解：满足初始条件、不含任意常数的解

常系数线性差分方程求解 n阶常系数方程 y,+n+Py+m-1+…+Py,= 若T=0,则称为齐次方程 y+n+Py4m-1+…+Pny=0 教学建模

常系数线性差分方程求解 i n i n n i i y + Py + + P y = r + 1 + −1  n阶常系数方程 1 1 0 i n i n n i y P y P y + + − + + + = 若 ri =0，则称为齐次方程

常系数线性差分方程求解 线性差分方程解的结构上与线性微分方程相类似 即有： (1)若y,=Y是济次差分方程的解，则 CY他是的解，其中C为任意常数。 (2)若Y(①)Y是齐次差分方程的解，则它 们的线性组合C,Y,()+也是非齐次 差分方程的解。 款学建模

线性差分方程解的结构上与线性微分方程相类似， 即有： （1） 若 是齐次差分方程的解，则 也是的解，其中C为任意常数。 （2）若 、 是齐次差分方程的解，则它 们的线性组合 也是非齐次 差分方程的解。 y Y(i) i = CY(i) ( ) 1 Y i ( ) 2 Y i ( ) ( ) 1 1 2 2 C Y i +C Y i 常系数线性差分方程求解

常系数线性差分方程求解 (3)若Y(),…,Y,()是齐次差分方程个线性无关 的解，则它们的线性组合 CY(①)+…+C,Y(i) 就是齐次差分方程的通解。Y()，…,Y() 称为齐次差分方程的一组基本解。 (4)若C,Y(①+…+CmYn()是齐次差分方程的 通解，y*()是非齐次方程的一个特解，则 y)=CY()+…+CnYn()+y*() 是非齐次方程的通解。 数学建模

（3）若 ， … ， 是齐次差分方程n个线性无关 的解，则它们的线性组合 就是齐次差分方程的通解。 ， … ， 称为齐次差分方程的一组基本解。 （4） 若 是齐次差分方程的 通解， 是非齐次方程的一个特解，则 是非齐次方程的通解。 ( ) 1 Y i Y (i) n ( ) ( ) 1 1 C Y i C Y i ++ n n ( ) 1 Y i Y (i) n ( ) ( ) 1 1 C Y i C Y i ++ n n y *(i) ( ) ( ) ( ) *( ) 1 1 y i C Y i C Y i y i = ++ n n + 常系数线性差分方程求解

齐次常系数线性差分方程求解 y+n+Py+n1+…+Pny=0 特征方程入”+卫2”-1+…+P,入+Pn=0 若入，入2，是特证方程的个不同的根， 通解可表为 y=C2'+…+Cn2n 入=2=…=入时，只要将Y(⑦)，Y2(),…,Y() 换为Y(①)=入，Y)=i,…,Y()=-2 数学建棋

齐次常系数线性差分方程求解 y P y P y i n i n n i + + − + + + = 1 1 0 1 0 1 + 1 + + − + = − n n n n 特征方程  P  P  P   n , , , 若 1 2  是特征方程的 个不同的根， n 通解可表为 i n n i yi = C1 1 ++C  1 = 2 == k 时，只要将 ( ), ( ), , ( ) 1 2 Y i Y i Y i  k 换为 k i k i i Y i Y i i Y i i 1 1 1 1 2 1 ( )  , ( )  , , ( )  − = =  =

齐次常系数线性差分方程求解 当特征方程有一对共扼单复根时 入12=a±bi=re0 →Y(i)=rcos(i0) Y,(i)=r'sin(i) 当特征方程有一对共扼重复根时 n1k=re,几kl2=re10 →Y()=rcos(i0),…,Y(d)=cos(i0) Yx+(i)=r'sin(i0),…,Y2x(①)=i-rsin(iO) 数学建模

齐次常系数线性差分方程求解 当特征方程有一对共扼单复根时 1, , 1, ,2 , i i k k k r e r e     − = = + 1 2 ( ) cos( ), ( ) sin( ) i i Y i r i Y i r i    = = 当特征方程有一对共扼n重复根时 1,2 i a bi r e    =  = 1 1 1 1 2 ( ) cos( ), , ( ) cos( ) ( ) sin( ), , ( ) sin( ) i k i k i k i k k Y i r i Y i i r i Y i r i Y i i r i     − − +  = = = =

非齐次常系数线性差分方程求解 例求下列差分方程的通解 (1) 2= y=C()+() (2)=sini y=C-(cos受i+sn) (3)y+2+y+1十y=0 y=Ccos等i+C,sn号i (4)y2-4y1+4y=2+5 y=(C+C2)2+2+5 数学建模

非齐次常系数线性差分方程求解 例 求下列差分方程的通解： （1） （2） （3） （4） i i i y y ) 2 5 ( 2 1 +1 − = y y i i 1 i 2 sin  + − = yi+2 + yi+1 + yi = 0 i i i i i y +2 − 4y +1 + 4y = 2 + 5 i i yi C( ) ( ) 2 5 2 1 2 1 = + (cos sin ) 2 2 2 1 y C i i i   = − + 2 2 1 2 3 3 cos sin i y C i C i   = + i i i i i y (C C i)2 2 59 1 1 2 8 2 = + + +

1减肥计划 节食与运动 体重指数BMI=Mkg)/P(m2). 背 18.525~超重； 岁数肥食匙不到减肥目标，或不能维持 ·通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 ·体重变化由体内能量守恒破坏引起 析 ·饮食（吸收热量）引起体重增加 ·代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 数学建模

1 减肥计划——节食与运动 背 景 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分 析 • 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 • 体重指数BMI=w(kg)/l 2(m2). 18.525 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖