西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）第八章 假设检验（习题课）

2019/12/22 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8 通过习题来理解第八章《假设检验》 设计与整理：王磊副教授 第一节假设检验的基本思想 2019年0电子工程学院 000 ④⊙0 典型例题 解根据题意需要检验假设 例1某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服 从正态分布N(4g2,4=40cm/s,g=2cm/s.现 了烧率) 用新方法生产了一批推进器，随机取=25只，测 这是右边检验问题， 得燃烧率的样本均值为？=41.25cm/3.设在新方 拒绝嫩为z=。治2s=1.645 法下总休均方差仍为2cm/问用新方法生产的 推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃 因为：=二片=3.125>1.645，值落在拒绝域中 烧率右显的高 ?取显着水平a=0.05 故在是性水平应0.05下指H 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显着 0⊙0 怎袋本点丝 假设检验的一般步骤 1.根据实际问愿的要求，提出原假设H。及备择 假设H,: 2.构建检验统计量 第二节正态总体均值的假设检验 3.计算临界点以及拒绝域或接受城 4.计算检验统计量的样本值 5.判断，接受或拒绝H。 Note: 我已量新规划了结构，例、3已放入最后一节 0⑧0 0⊙⊙

2019/12/22 1 设计与整理：王磊 副教授 2019年@电子工程学院 通过习题来理解第八章《假设检验》 第一节 假设检验的基本思想 典型例题 ? .05.0 s,/cm2 s./cm25.41 , ,25 .s/cm2,s/cm40),,( 2         烧率有显著的提高 取显著水平 推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃 法下总体均方差仍为 问用新方法生产的 得燃烧率的样本均值为 设在新方 用新方法生产了一批推进器 随机取 测只 从正态分布 现 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服 x n N 例1 ( : , ) H1    0 即假设新方法提高了燃 烧率 这是右边检验问题, .645.1 / 05.0 0    z n x z   拒绝域为 ,645.13.125 / 0    n x z   因为 z值落在拒绝域中 , 故在显著性水平  下拒绝 H0 . 0.05 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 解 根据题意需要检验假设 : ( 40 , ) H0    0  即假设新方法没有提高 燃烧率 假设检验的一般步骤 ; .1 , 1 0 H H 假设 根据实际问题的要求 提出原假设 及备择 3. 计算临界点以及拒绝域(或接受域); 2. 构建检验统计量; 4. 计算检验统计量的样本值; 5. 判断，接受或拒绝 H0 第二节 正态总体均值的假设检验 Note： 我已重新规划了结构，例2、3已放入最后一节 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8

2019/12/22 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8 L为已知关于的检验(Z检验 今从 n-15r=10.48a/2=0.05 品中随机的抽取15段进行测量，其结果如下 10.2 则治- 5-0.516 很定切则的长度服从正态分布，且标准差没有变 查表得1s-1645, 化，试问该机工作是否正常？(a=0.) 于是治上0516月=0327 =l7531>1=-=06685 故接受H,认为金属棒的平均长度无显著变化 故接受以，认为元件的平均考不大2对。 利用检验法检验具有相同未知 方差的两正春总体均值差的假设 需要检验假设H,:4=4,H1:44 .=8￥=1g.g2583=0216. 味有里的子预中壳椒的产 馬，=7，y=20.00,2=0.397 航味2078.19.720.420.1200.19.0.19.9 8+7-2 、乙两合机 3319819 的天是 查表可知m13)=2.160, H 解依题意，两总体X和Y分别服从正态分布 N(4,g2)和N(4,o2,片，4，c均为未知 即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差界 -④⊙⊙ -④⊙@

2019/12/22 2 例4 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 7.102.107.105.108.106.109.10 2.103.103.105.104.101.106.104.10 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机工作是否正常? 解 0.15, ,),(~ 2 因为 NX     ,5.10:,5.10: H0   H1   要检验假设 .1 , )( 2 为已知 关于的检验 Z 检验  10 ).( 15/15.0 5.1048.10 / 0    n x   则  ,516.0 查表得 z 05.0  ,645.1 , . 故接受 H0 认为该机工作正常 n  ,15 x  ,48.10  / 2 0.05,  516.0| 645.1 / | 05.0 0   z n x   于是 如果在例4中只假定切割的长度服从正态分 布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变 化?   )05.0( 解 , ,),(~ , 依题意 NX  2  2 均为未知 ,5.10:,5.10: 要检验假设 H0   H1   n  ,15 x  ,48.10   ,05.0 s  ,237.0 15/237.0 5.1048.10 / 0     ns x t   ,327.0 查表得 )14()1(2/ 025.0 t n  t   1448.2 t  ,327.0 , . 故接受 H0 认为金属棒的平均长度 无显著变化 例5 .2 , )( 2 为未知 关于 的检验 t 检验 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分 布, 均为未知. 现测得16只元件的寿命如下: 170485260149250168362222 264179379224212101280159 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 2 , 例6 解 H0 :   0  H1   ,225:,225 依题意需检验假设 取  ,05.0 n  ,16 x  ,5.241 s  ,7259.98 查表得 7531.1)15( t 05.0  0 0.6685 / x t s n      故接受 H0 ,认为元件的平均寿命不 大于 小时 .225 例7 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. 解 ,),(),( , 2 2 2 N 1 N  X Y 和 依题意 两总体 和 分别服从正态分布 ,, , 2 21  均为未知   )05.0( 3.利用t检验法检验具有相同(未知) 方差的两正态总体均值差的假设. . : ,: 需要检验假设 H    H    211210 n1  ,8 x  ,925.19 ,216.0 2 s1  n2  ,7 y  ,000.20 ,397.0 2 s2  .0 547, 278 )17()18( 2 2 2 1 2      ss s 且 w , 所以接受 H0 即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异. ,160.2)13( 查表可知 t 025.0  | 7 1 8 1 |||    ws yx t   ,160.2265.0 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8

2019/12/22 任课教师：王磊 概率论讲义Chapta8 Mew:基于成对数据的检验(1检验) 有时为了比较两种产品，或两种仪器，两种方 得色为造两合收给给果有温老的造 推断这种方法常称为对比较法 8 谱仪用来测量材料中某利 异，制备了9件试块（它们的成分、金属含量、均 引 香成 第二行看 样本因此不 解：要检验设H,:=0，H,0 小结 本节学习的正态总体均值的假设检验有 设d4,d,,d,的样本均值石，样本方楚， L.单个总体均值出的检验一一Z检验：或：检验， 按表8.1中第2列中（位于表第7行）关于单个正态 分布均值的（检验，知拒绝城为 2两个总体均值差一4的检验一一检验：通常 -(m-1). 3,基于成对教据的检验一一检验： 由n=9,a28)=L(8)=33554,7=0.06, s=0.1227,可知1=1.467<33554，所以接受H, 差的假设问愿见表81第3行。 认为这两台仪器的测量结果无显着的差异。 口快：均值检验非正（仿差已知）即T方差未知 ⊙0 的某种型号的电 其春 期以 批这种电池从它生产情况来.的 所查化理随机的取26只电抽测出其寿角的样方 第三节正态总体方差的假设检验 方差-9200（小时.间根据这一数据能否推断 这批电池的考命的波动性较以往的有显着的变化 验假设H,:g2=500 H,:g2≠5000 n=26,a=0.02,g,2=5000 2z.a-l)=z(25)=4.314 0⑧0 ④⊙0 3

2019/12/22 3 New：基于成对数据的检验( t 检验 ) 有时为了比较两种产品, 或两种仪器, 两种方 法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试验, 得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据作出 推断. 这种方法常称为逐对比较法. 例8 有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种 金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差 异, 制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均 匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一 试块测量一次, 得到9对观察值如下:       11.013.012.011.018.018.012.009.010.0% 89.077.068.059.078.032.052.021.010.0% 00.190.080.070.060.050.040.030.020.0%  yxd   y x 问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异? 本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出 一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是 由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等 因素引起的. [这也表明不能将光谱仪Ix 对9个试 块的测量结果(即表中第一行)看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样本, 因此不 能用表8.1中第4栏的检验法作检验].   )01.0( 0. : 0, : 要检验假设 H0  d  H1  d  ,,, , , 2 21 ddd d s 设  n 的样本均值 样本方差 按表8.1中第2列中（位于表第7行）关于单个正态 分布均值的 t 检验, 知拒绝域为 ,)1( / 0 2/     nt ns d t 由 n  ,9 ,3554.3)8()8( t 2/  t 005.0  d  ,06.0 s  ,1227.0 可知 t  467.1  ,3554.3 , 所以接受 H0 认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. 解： 小结 本节学习的正态总体均值的假设检验有: .1 单个总体均值 的检验 —— Z 检验; .2 ; 两个总体均值差    21 的检验 —— t 检验 .3 基于成对数据的检验 —— t 检验; 当两个正态总体的方差均为已知(不一定相 等)时,我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值 差的假设问题, 见表8.1第3行 . 或t 检验； 口诀：均值检验非正(方差已知) 即T(方差未知) (通常) 第三节 正态总体方差的假设检验 解 ,5000:,5000: 2 1 2 要检验假设 H0   H   n  ,26   ,02.0 ,5000 2  0  ,314.44)25()1( 2 01.0 2   2/ n      )02.0( 例9 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以 来服从方差 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一 批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有 所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本 方差 =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化? 2  2 s 一、单个总体的情况 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8

2019/12/22 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8 x2a(m-1=xn(25-11.524, 例10某厂生产的铜丝的折断力指标围从正态分 布，现随机抽取9根，检查其折断力，测得数据如下 无我装“"≤a皮山 因为a=乎_250=46>4314， o 解按题意要检验H,:2=20,H,:c220, 所以拒绝H, =9.=287.89.2=20.36. 认为这批电油的寿命的波动性较以往的有 查表得xn(8-2.18.xs(8=17.5 显着的变化 于是a-P_8×206_842180.1 Fs5,8=482,F58)=0.148 因为。.2197-4>64s 取统计量F--35-0964 所以拒绝H 148<F<482,故接受H,认为o,=o, 为车生产的产品没有达到所要的号 小结 1.单个正态总体方差的检验法一一x检验法： 2.两个正态总体方差的检验法一一F检验法 综合例题 口快：单个方差必卡方，两个方差必F ⊙⊙© ④⊙@

2019/12/22 4 ,524.11)25()1( 2 99.0 2   2/1 n    )1( 2 0 2    sn 拒绝域为: ,524.11 )1( 2 0 2    sn 或 .4.3144 46 5000 920025)1( 2 0 2      sn 因为  , 4.3144 , 所以拒绝 H0 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有 显著的变化. 例10 某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分 布, 现随机抽取9根, 检查其折断力, 测得数据如下 (单位:千克): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方 差为20? 解 ,20:,20: 2 1 2 按题意要检验 H0   H   n  ,9 x  ,89.287 ,36.20 2 s  查表得   )05.0( ,18.2)8( 2  975.0  ,5.17)8( 2  025.0  ,14.8 20 36.208)1( 2 0 2      sn 于是   ,5.1714.818.2 , 故接受 H0 认为该厂生产铜丝的折断力的方差为20. 解 ,1.0:,1.0: 2 1 2 要检验假设 H0   H   n  ,25 ,415.36)24( 2  05.0  4.47 1.0 1975.024)1( 2 0 2      sn 因为  ,415.36 , 所以拒绝 H0 认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度. 例11 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布, 按规定产品尺寸的方差 不得超过0.1, 为检验该 自动车床的工作精度, 随机的取25件产品, 测得样 本方差 s2=0.1975, . 问该车床生产的产品 是否达到所要求的精度? 2  x  86.3   )05.0( 例12 两台车床加工同一零件, 分别取6件和9件测 量直径, 得: 假定零件直径 服从正态分布, 能否据此断定 0.345, 0.357. 2 2 sx  s y  . 22    yx   )05.0( 解 本题为方差齐性检验: .:,: 22 1 22 H0   yx H   yx 2 2 y x s s 取统计量 F  ,82.4)8,5( F 025.0  ,9644.0 357.0 345.0  ,148.0)8,5( F 975.0   F  ,82.4148.0 , 故接受 H0 . 22 认为   yx 两总体方差相等也称两总体具有方差齐性. 二、两个总体的情况 小结 .1 ; 单个正态总体方差的检验法 —— 2 检验法 .2 两个正态总体方差的检验法 —— F 检验法; 口诀：单个方差必卡方，两个方差必F. 综合例题 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8

2019/12/22 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8 回顾：假设检验的一般步骤 0.解读题目1 1.根据实际问题的要求，提出原假设H。及备择 分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可 假设H,: 试全体考生的平均成绩为70分？并 2构建检验统计量 3.计算临界点以及拒绝域或接受域： 解设该次考试的学生成绩为X,a=0.05, 则X一N(4,G2,样本均值为X,样本标准差为S, 4.计算检验统计量的样本值： 需检验假设H,:=70，H,:470. 5.判断，接受或拒绝H。 ④⊙@ 因为。未知，故采用：检验法，当H,为真时 针--2-小 A 查表1知瓶绝候为-图2之0-小 由n=36,X=66.5,S=15,4as(35)=2.0301, ()两批红砖的抗折摄度的方差是否有显著差异： 高--1<2wm 所以接受H,认为全体考生的平均成绩是70分. 解（山检验假设：H。:可=，H,:o幸. ④⊙⊙ 0⊙⊙ 。书色+长作保 用F检验法，当H,为真时 袋计量F=是-Fa-1- 看F-00-2s2闲<2g7<a 所以接受山，认为抗折强度的方差没有显着艺异。 查表8-1知拒绝域为 F(-l,-或F≤fam-l,属- (②检验假设：A。:4=4,H,:4≠4 由m=10,m2=8,S=40.96,S=1444, 用1检验法，当H,为真时， 统计量1 .x-Y T~m+%-2 0⑧0 ④⊙0 3

2019/12/22 5 回顾：假设检验的一般步骤 ; .1 , 1 0 H H 假设 根据实际问题的要求 提出原假设 及备择 3. 计算临界点以及拒绝域(或接受域); 2. 构建检验统计量; 4. 计算检验统计量的样本值; 5. 判断，接受或拒绝 H0 0. 解读题目！ 解 设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中 随机地抽取36位考生的成绩, 算得平均成绩为66.5 分, 标准差为15分, 问在显著性水平0.05下, 是否可 以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? 并 给出检验过程. 设该次考试的学生成绩 为 X , ),,(~ 2 则 NX  样本均值为 X, 样本标准差为 S, 需检验假设: .70:,70: H0   H1     ,05.0 例13 , 因为2 未知 故采用t 检验法, , 当 H0 为真时 1(~ ), / 70 / 0      nt S n X S n X t  统计量 查表 8-1 知拒绝域为 1( ), / 70 2/    nt S n X t  ,0301.2)35(,15,5.66,36 由 Xn S  t 025.0  4.1 36/15 705.66 / 70      S n X 得 t  ,0301.2 所以接受 H0 , 认为全体考生的平均成 绩是 分.70 解 某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖 的抗折强度(千克), 得到结果如下: ;8.3,5.30,8 : ;4.6,3.27,10 : 2 2 1 1      Syn xn S 第二批 第一批 已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验: (1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差 异? 均取  )05.0( (1) 检验假设: .:,: 2 2 2 11 2 2 2 H 10  H   例14 用 F 检验法 , , 当 H0 为真时 1,1(~ ), 2 1 2 2 2 1  nnF  S S 统计量 F 查表 8-1 知拒绝域为 )1,1(  12/ nnFF 2  1,1( ), 或 F   12/1  nnF 2  ,44.14,96.40,8,10 2 2 2 由 1 2 Snn 1  S  ,82.4)7,9( F 025.0  ,283.0 )9,7( 1 )7,9( 025.0 975.0   F F ,837.2 44.14 96.40 得 F  显然  ,82.4837.2283.0 , . 所以接受 H0 认为抗折强度的方差没 有显著差异 (2) 检验假设: ,:,: H    H   211210 用 t 检验法 , , 当 H0 为真时 2(~ ), 11 21 21     nnt nn S X Y t w 统计量 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8

2019/12/22 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8 其中S--1S2+ 查表81知拒绝城为川2l偶+%-2 由ams(10+8-2)■4(16)■2.1199， 关于假设检验的两类错误 -x40%+7x144-2935753=5418 海、R、 所以接受H。,认为抗折强度的期望无显着差异 P(x,W)-P(xl>d) 两种情况下，分划定希山 :为 在 =-) aa=2返斯=x小其中x-若2 --》-as 解山n=1时，若H,成立，则高~N0, ©)-09ni品-1s64=19 ④⊙@ ©⊙0 an.看之则压ANa 例3设(K.X,,X,)是来自正态总体梦 的一个样本其中山为未知参数.检验H。:1=仙 PX.…X)EW)=PN>) (H:H4,拒绝域用={，，xF-42C, =r假（引旬 =-N0 P(X,X)∈W)=P叫R-42C) --)-s -Ag-g》-% -a7s号-16 d=3.92 ④⊙© 6”o0 6

2019/12/22 6 . 2 )1()1( 21 2 22 2 2 11    nn SnSn 其中 Sw 查表 8-1 知拒绝域为 2( ). t t nn 212/  ,1199.2)16()2810( 由t 025.0 t 025.0  ,418.5,3575.29 16 2 44.14796.409    Sw  Sw 245.1 474.0418.5 5.303.27 11 21        nn S YX t w 得  ,1199.2 , . 所以接受 H0 认为抗折强度的期望无 显著差异 关于假设检验的两类错误 . 25 1 ,}||),,({,25)2( };||{,1)1( . 0.05 , , ,)0:(0: , ),,,( )100,( 25 1 1 1 25 111 1 0 1 21        i i n xxdxxxWn dxxWn d W H H XXX N 其中 的检验犯第一类错误的 概率为 两种情况下 分别确定常数 使得以 为拒绝域 的一个样本 要检验 在下列 设 是来自正态总体      解 ,1)1( , n  若时 H0 成立 ,)1,0(~ 10 1 N X 则 例2 P WX   P  dX  11 1        1010 1 dX P 1 10 10    d d                        10 12 d   ,05.0 ,975.0 10       d  ,96.1 10  d d  ;6.19 ,,25)2( n  若时 H0成立 ,)1,0(~ 10 25 N X 则 P    X X W P X  d  1 25 1 ,        22 dX P 1 2 2    d d                        2 12 d   ,05.0 ,975.0 2        d  ,96.1 2  d d  .92.3   , 0.05 },||,,{ ),:( , : , ),,,( )9,( 1 0 11 0 0 0 21 试确定常数 使显著性水平为 拒绝域 的一个样本 其中 为未知参数 检验 设 是来自正态总体 C H CxxxW H XXX N n n            解 , H0成立若 ,)1,0(~ 3 )( 0 N Xn   则 ()),(( ) P X1 Xn W1  P X  0  C 例3            33 Xn 0 Cn P               3 12 Cn   ,05.0 ,975.0 3        Cn  ,96.1 3  Cn ; 88.5 n C  任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8

2019/12/22 任课教师：王磊 概率论讲义Chapta8 限本轮兵融维钱研 小结 假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤 假设检验的两类错误 真实情况 所作决策 (未知) 接受H。 拒绝H。 H为真 正确 犯第类错误 H。不真 犯第Ⅱ类错误 正确 (大结局) ④⊙⊙

2019/12/22 7 小结 假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤. 真实情况 (未知) 所作决策 接受 H0 拒绝 H0 H0 为真 正确 犯第I类错误 H0 不真 犯第II类错误 正确 假设检验的两类错误 （大结局） 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt8