北京化工大学：《数学建模》课程教学资源（课件讲稿）第二章 连续模型 第二节 微分方程模型——传染病模型（2/2）

传染病模型（续） 数学建模·

传染病模型（续）

问题： 传染病模型 1。考虑人口出生率时如何？ 2。考虑接触率、日治愈率随时间变化时如何？ 数学建模 00

问题： 1。考虑人口出生率时如何？ 2。考虑接触率、日治愈率随时间变化时如何？ 传染病模型

模型5传染病有免疫性— 病人治愈 传染病模型 后即移出感染系统；传染病流 行期间，人口出生率为常数。 不考虑死亡、人口迁移。 假设 1)传染病流行期间，人口出生率为常数k 2)传染病流行期间，病人、健康人和移 出者的比例分别为i(t),s(t),r(t) 3)病人的日接触率入，日治愈率山， 接触数σ=2/4 数学建模

模型5 2）传染病流行期间，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t) 3）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数  =  /  假设 传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统；传染病流 行期间，人口出生率为常数。 不考虑死亡、人口迁移。 传染病模型 1）传染病流行期间，人口出生率为常数 k

模型4 传染病模型 di =入si-人ui di Asi-ui ds dt =-Asi+k ds =-见si+ r dt =人ui i(0)=o,s(0)=so i(0)=io,s(0)=so 数学建模

传染病模型 0 0 (0) , (0) di si i dt ds si k dt dr i dt i i s s      = −     = − +    =   = = 模型4 0 0 (0) , (0) di si i dt ds si k dt i i s s     = −    = − +     = =  

模型4 传染病模型 ill fun2.m 0.9 0.8 0.7 phase2.m 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 62 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 the percentage of susceptible 相轨线趋向于一点！ 款学建模

模型4 传染病模型 相轨线趋向于一点！ ill_fun2.m phase2.m

常微分方程定性理论简介 考虑如下形式的微分方程（组） dx =f(X) (X可以是向量) dt 称为自治系统（或自治方程组） 一阶微分方程的解的稳定性 dx dt =f(x) 平衡点（奇点） stationary point, f(x)=0的解x=xo singularity） (奇解、平衡解 ) 数学建模

常微分方程定性理论简介 一、一阶微分方程的解的稳定性 考虑如下形式的微分方程（组） ( ) ( dX f X X dt = 可以是向量) 称为自治系统（或自治方程组） 0 f x x x ( ) 0 = = 的解 平衡点（奇点） （stationary point, singularity) ( ) dx f x dt = （奇解、平衡解）

常微分方程定性理论简介 Logistic方程 di dt =2i(1-) 平衡点（奇点） i=0,i=1 i=0附近： di =i-2>0 i(t)远离0 dt i=附近：4=-a0-)-20-1y>0,《 dt 1) i(t)→l(t>+o)川 款学建模

(1 ) di i i dt Logistic 方程 = −  平衡点（奇点） i i = = 0, 1 2 0 0 di i i i dt = = −  附近:   2 0, ( 1) 1 ( 1) ( 1) 0, ( 1) i i i i i      = = − − − −     di 附近: dt i t( )远离0 i t t ( ) 1( )!! → → + 常微分方程定性理论简介

常微分方程定性理论简介 一般地，若对于x。附近的初值，有limx()=x, 则称x是（渐近）稳定的；否则，是不（渐近）稳定 的。 (stable) (unstable) dt =2i(1-) i=0是不稳定的；i=1是稳定的 一般情况如何判别？ 教学建模

常微分方程定性理论简介 一般地，若对于 附近的初值，有 0 lim ( ) , t x t x →+ = 0 x 则称 是（渐近）稳定的；否则，是不（渐近）稳定 的。 0 x (1 ) di i i dt = −  i = 0是不稳定的; i =1是稳定的. (stable) (unstable) 一般情况如何判别？

常微分方程定性理论简介 20 dx d =f(x) 将f(x)在x,处作泰勒展开，只取一次项，得 dx =f"(x)x-xo） (2 dt (2)称为(1)的近似线性方程。 若f'(x)>0,则x是不稳定的： 若f'(x)<0,则x是稳定的. 款学建模

常微分方程定性理论简介 ( ) (1) dx f x dt = 0 将 在 处作泰勒展开,只取一次项,得 f x x ( ) 0 0 ( )( ) (2) dx f x x x dt = −  （2）称为（1）的近似线性方程。 结 论 0 0 0 0 ( ) 0, ( ) 0, f x x f x x     若 则 是不稳定的; 若 则 是稳定的

常微分方程定性理论简介 二、二阶微分方程的解的稳定性 dx =f(x,x)→ dt dt f(x,y) dx 二阶自治系统 dt f(x,y) dy =g(x,y) 平衡点 使/= (奇点) 的点P(x,) 8(x,y)=0 数学建模

常微分方程定性理论简介 二、二阶微分方程的解的稳定性 ' ( , ) ( , ) dx y dt x f x x dy f x y dt  =   =    =  二阶自治系统 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt  =    =  平衡点 （奇点） 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 f x y P x y g x y  =   = 使 的点