北京化工大学：《数学建模》课程教学资源（PPT课件）第六章 几何模型 第二节 自由曲线曲面的表示

第二节自由曲线曲面的表示 1曲线、曲面的参数表示 CAGD研究的对象是平面或空间的曲线和曲面， 因此要考虑用合适的方法表示平面或空间中点与 点的运动轨迹。 从中学开始我们就习惯建立平面或空间直角 坐标系，用点在直角坐标系中的坐标来表示点， 用动点运动所满足的关系式来表示曲线曲面。 款学建模

第二节 自由曲线曲面的表示 CAGD研究的对象是平面或空间的曲线和曲面， 因此要考虑用合适的方法表示平面或空间中点与 点的运动轨迹 。 从中学开始我们就习惯建立平面或空间直角 坐标系，用点在直角坐标系中的坐标来表示点， 用动点运动所满足的关系式来表示曲线曲面。 1 曲线、曲面的参数表示

例如：到一个固定点的距离等于R的平面上点的 轨迹，如果选择此固定点为坐标原点，建立平面 直角坐标系后，设动点为，它的运动轨迹为： x2+x2=R 从而得到平面上圆的方程为： x2+x2=R2 学建模

例如：到一个固定点的距离等于R的平面上点的 轨迹，如果选择此固定点为坐标原点，建立平面 直角坐标系后，设动点为，它的运动轨迹为： 2 2 x y R + = 从而得到平面上圆的方程为： 2 2 2 x y R + =

但是这个式子不方便CAGD的计算机表示，在空间曲 面的直角坐标系下的表示中也存在同样的弊病，这种过 去常用的表示曲线与曲面的显式或隐式的表达示形式存 在着以下缺点： (1)与坐标轴相关； (2)会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； 数学建模

但是这个式子不方便CAGD的计算机表示，在空间曲 面的直角坐标系下的表示中也存在同样的弊病，这种过 去常用的表示曲线与曲面的显式或隐式的表达示形式存 在着以下缺点： （1）与坐标轴相关； （2）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；

(3)对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非 参数化函数表示； (4)不便于计算机编程。 因此，在CAGD中对所研究的曲线曲面通常采用 参数方程 教学建模

（3）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非 参数化函数表示； （4）不便于计算机编程。 因此，在CAGD中对所研究的曲线曲面通常采用 参数方程

2向量参数方程 曲线的参数表示 平面R中的点可以表示为 空间R3中的点可以表示为 款学建模

2 向量参数方程 曲线的参数表示 平面 中的点可以表示为 空间 中的点可以表示为 2 R   =     x u y 3 R     =       x u y z

它们是二维或三维空间中点的向量表示。一个运 动的点的轨迹可以用位置向量连续不断的各个瞬间 值来描述，这个向量随时间的变化关系用函数表示， 即向量是时间的一个函数。如果是平面向量，这个 函数代表平面曲线，如果是空间向量，它表示空间 曲线，用直角坐标表示： 阳 x=x() 或 y=y() 2= (0) 数学建模

它们是二维或三维空间中点的向量表示。一个运 动的点的轨迹可以用位置向量连续不断的各个瞬间 值来描述，这个向量随时间的变化关系用函数表示， 即向量是时间的一个函数。如果是平面向量，这个 函数代表平面曲线，如果是空间向量，它表示空间 曲线，用直角坐标表示： ( ) ( )  =  =  x x t y y t 或 ( ) ( ) ( )  =   =  =  x x t y y t z z t

就是以t为参变量的曲线的参数方程u=r(① 称为曲线的参数方程。 例1试用向量参数方程表示圆x2+y2=R2 例2试用向量参数方程表示空间直线 X-=y-%=三-0 a 并说明几何意义 例3在0-xz直角坐标系中，建立动点Mky) 的运动的数学模型M点在绕原点做圆周运动 同时，沿Z轴正方向做均速运动 款学建模

就是以 为参变量的曲线的参数方程 称为曲线的参数方程。 例 1 试用向量参数方程表示圆 例 2 试用向量参数方程表示空间直线 并说明几何意义 例 3 在 直角坐标系中,建立动点 的运动的数学模型M点在绕原点做圆周运动 同时，沿Z轴正方向做均速运动 t u r t = ( ) 2 2 2 x y R + = c z z b y y a x x0 0 − 0 = − = − 0 − xyz M(x, y,z)

曲面的参数表示 在三维空间中，设想一条曲线随着时间连续 的变化，可以想象这一系列连续变化着的曲线形 成一个曲面，其中每一点可以由曲线经过该点时 的时间和该点在曲线上的参数来区分，假如把曲 线的参数方程换成两个变量的任意矢量函数则可 以表示曲面，写成分量形式为： [x =x(u,v) y=r(u,v) 2=z(4,y) 学建模

曲面的参数表示 在三维空间中，设想一条曲线随着时间连续 的变化，可以想象这一系列连续变化着的曲线形 成一个曲面，其中每一点可以由曲线经过该点时 的时间和该点在曲线上的参数来区分，假如把曲 线的参数方程换成两个变量的任意矢量函数则可 以表示曲面，写成分量形式为： ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v , ,

一般用其参数形式可表示曲面，通常称 i u,v 为曲面上点的曲线坐标。曲面的向量参数方程中如果 有一个不变，例如：u=4, 由式 x=x(4v) y=y(u,v) z=z(4,v) 知它形成一条空间曲线，称为参数曲线线，另 一条称为u线。对给定 u,v的常数列得出两族 参数曲线，它们形成曲面上的坐标网，过曲面上的每 一个点仅有网中两条曲线，它们交于一点，且不相切。 数学建模 00

一般用其参数形式可表示曲面，通常称 为曲面上点的曲线坐标。曲面的向量参数方程中如果 有一个不变，例如： 由式 知它形成一条空间曲线，称为参数曲线 线，另 一条称为 线。对给定 的常数列得出两族 参数曲线，它们形成曲面上的坐标网，过曲面上的每 一个点仅有网中两条曲线，它们交于一点，且不相切。 u, v u = u0 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v y y u v x x u v , , , 0 0 0 u u, v v

例4建立过定点且包含直线的曲面的数学模型，其中 定点的向径是 「，（建立模型，并作图，结果用参数 方程表示) 例5建立中心在，定点半径为Q的球面数学模型； 取球面上一点的向径在平面上投影与0X夹角 向径与0Z夹角B为参数。 数学建模

例4 建立过定点且包含直线的曲面的数学模型，其中 定点的向径是 （建立模型，并作图，结果用参数 方程表示） 例5 建立中心在，定点半径为 的球面数学模型； 取球面上一点的向径在平面上投影与OX夹角 ， 向径与OZ夹角 为参数。 a  0 r 