《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）1.3 无穷小与无穷大

1.3无穷小与无穷大 、无穷小概念 1无穷小定义 2无穷小性质 无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、无穷小的阶

1.3 无穷小与无穷大 一、无穷小概念 1.无穷小定义 2.无穷小性质 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、无穷小的阶

1.3无穷小与无穷大 无穷小概念 1无穷小的定义 定义114若函数y=x)在自变量x的某个变化过 程中以零为极限,则称fx)为在该变化过程中的无穷 小,常以a,B,y等表示 例∵im(x3-27)=0:x3-27当x→].无穷小 x-)3 imn=0,∴函数当x→时为无穷小 ∞x

1.3 无穷小与无穷大 一、 无穷小概念 1.无穷小的定义 定义1.14 若函数y＝f(x)在自变量x的某个变化过 程中以零为极限，则称f(x)为在该变化过程中的无穷  ,  ,  等表示. lim( 27) 0, 27 3 . 3 3 3 − =  − 当 → 时为无穷小 → x x x x  = 函数 当 → 时为无穷小 → x x x x 1 0, 1 lim 例 小，常以

简言之,极限为0的量叫做无穷小量 走()无穷小与很小的数不篚同无穷小是变量 零是可作为无穷小的惟的常数一的常数 (2)无穷小必须指明自变量的变化趋向 lim f(r=0 即若 x→)C0 im∫(x)=0 x→00 则f(x)是当 x→>x 时的无穷小 x→)0

简言之，极限为 0 的量叫做无穷小量. 注意！ (1) 无穷小与很小的数不能等同,无穷小是变量. (2) 无穷小必须指明自变 量的变化趋向. 即 若 ， lim ( ) 0 lim ( ) 0 0 = = → → f x f x x x x 0 ( ) x x f x x → →  则 是当 时的无穷小. 零是可作为无穷小的惟一的常数一的常数

例 =0 当x→>0时为无穷小 x-x2+3 x2+3 imex=0,e-当x→+0时为无穷小 x→+Q 2无穷小性质 (1)有限个无穷小的和(代数和)仍为无穷小 (2)有限个无穷小的积仍为无穷小 (3)有界函数(常数)与商小的积仍为无穷小

lim e = 0,e 当 → +  时为无穷小. − − →+  x x x x  . 3 0, 3 lim 2 2 当 →  时为无穷小 + =  → + x x x x x x 例  2.无穷小性质 （1）有限个无穷小的和（代数和）仍为无穷小. (3) 有界函数（常数）与无穷小的积仍为无穷小. （2） 有限个无穷小的积仍为无穷小

例1求极限mxm 解因为limx=0,而sinx1 x-)0 由性质(3) lim rsin-=0. x→>0 思考:无穷多个无穷小的和还是无穷小吗? 例 +-+-+∷+ (n→>∞) nnn 个

例1 求极限 . 1 lim sin 0 x x x→ 解 因为 lim 0, 0 = → x x 而 sin x  1, 由性质（3） 0. 1 lim sin 0 = → x x x 思考：无穷多个无穷小的和还是无穷小吗？ 例 n n n n 1 1 1 1 + + ++ n个 (n → )

3无穷小与函数极限的关系 定理12设limf(x)=A,则f(x)=A+a, 其中a是无穷小即lima(x)=0;反之亦然 即imf(x)=A台f(x)=A+a,a是无穷小 例 3x2+4 3x2+4 =3 3+ x→0 2 2 2 lim 2

其中 是无穷小, 即lim(x) = 0; 反之亦然. 设lim f (x) = A, 则 f (x) = A+ , lim f (x) = A  f (x) = A+， 是无穷小 3.无穷小与函数极限的关系 定理1.2 即 例 3 , 3 4 lim 2 2 = + → x x x  , 2 4 x  = . 4 3 3 4 2 2 2 x x x = + +  0. 4 lim 2 = x→ x

二、无穷大 观察f(x)=,当x→0时,f(x)无限增大 定义115如果当x→x0/(x→>∞)时 ∫(x)无限增大则称f(x)当x→x0(x→>∞)时 为无穷大记做imf(x)=0 x→>x0 x→0 如 称-是当x→>0时的无穷大 x→0y im3Mn=∞,∴称3n是当n→o时的无穷大 n→0 im(x+1)=∞,∴称x+1是当x→时的无穷大 x→0

二、无穷大 x f x 1 ( ) = ，当 x → 0时，| f (x)|无限增大 则称f (x)当x → x0 (x → )时 如果当 x → x0 ，(x → )时， 观察 定义1.15 无限增大, 为无穷大. 记做 =  → → lim ( ) ( ) 0 f x x x x 如 =   → , 1 lim x 0 x  称 x 1 是当 x → 0时的无穷大. =   → lim 3n , n  称 3n 是当 n → 时的无穷大. + =   → lim(x 1) , x  称 x +1是当 x → 时的无穷大. | f ( x) |

()无穷大不是数而是当x→x(或x→∞)时极限 为∞的函数因此要把无穷大与很大的数分开 (2)无穷大必须指明自变量的变化趋向 (3)极限为∞,但极限仍然不存在 简言之,极限为无穷的量叫做无穷大量. im =oo x3为x→∞时的无穷大 x→ lim I=-o.nx为x→0+时的(负)无穷大 x→>0 imex=+a,ex为x→>+时的(正)无穷大 x)+0

注意！ (1) 无穷大不是数,而是当x → x0 (或x → )时极限 (2) 无穷大必须指明自变 量的变化趋向. (3 ) 极限 为 ，但极限仍然不存在.  简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量. lim , 3 =  → x x . x 3 为x → 时的无穷大 lim ln , 0 = −  → + x x ln 为 0 时的（负）无穷大. → + x x 为x → + 时的（正）无穷大. x lim = +, e →+  x x e , . 为 的函数 因此要把无穷大与很大的数分开 

、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化过程中如果(x)为无穷大, ∫(x) 为无穷小;如果∫(x)为无穷小且∫(x)≠0, 则一为无穷大 ∫(x) 无穷小与无穷大互为“倒数” 例lim(x-1)=0, x→1 = x→1x-1

如果 f (x)为无穷小,且 f (x)  0, 如果f (x)为无穷大, ; ( ) 1 则 为无穷小 f x 在自变量的同一变化过 程中, 三、无穷小与无穷大的关系 . ( ) 1 则 为无穷大 f x 无穷小与无穷大互为“倒数”. 例 lim( 1) 0, 1 − = → x x . 1 1 lim 1 =  x→ x −

四、无穷小的阶 例:当x→Q时,3x,x2,sinx,都是无穷小 而lim 3x 〓00 x→03x 2 lim x>03x3 两无穷小之比的极限的同情况反映了不同 的无穷小趋于零的“慢曼”程度的差别

四、无穷小的阶 0 ,3 , ,sin , , 当x → 时 x x 2 x 都是无穷小 0, 3 lim 2 0 = → x x x 而 , 3 lim 2 0 =  → x x x 3 2 3 2 lim 0 = → x x x 两无穷小之比的极限的不同情况,反映了不同 例： 的无穷小趋于零的“快慢”程度的差别