《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）1.1 函数的概念与性质

11函数的概念与性质 区间与邻域 二、函数的概念 函数的几种特性 四、反函数复合函数初等函数

1.1 函数的概念与性质 一、区间与邻域 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、反函数 复合函数 初等函数

1函数定义 2确定函数的两要素 常数函数 幂函数 3函数的表示法 基本初等函数/对数函数 4函数图像 指数函数 分段函数 三角函数 绝对值函数反三角函数 符号函数 函数{取整函数 双曲函数 复合函数 初等函数

函数 1.函数定义                   ........ 初等函数 复合函数 双曲函数 取整函数 符号函数 绝对值函数 分段函数 基本初等函数 3.函数的表示法 2.确定函数的两要素 4.函数图像           反三角函数 三角函数 指数函数 对数函数 幂函数 常数函数

11函数的概念与性质 区间与邻域 1.区间 设a,b是任意两个不相等的实数,称集合 xa<x<b}为开区间,记为(a,b), xasx≤b}为闭区间,记为a,b x|a<x≤b}为左开右闭区间,记为(a,b, xasx<b}为左闭右开区间,记为u,b), 以上区间为有限区间

1.1 函数的概念与性质 一、 区间与邻域 1. 区间 设a , b是任意两个不相等的实数，称集合 x a  x  b  为开区间，记为（a , b）, x a  x  b  为闭区间，记为[a , b], x a  x  b  为左开右闭区间，记为（a , b], x a  x  b  为左闭右开区间，记为[a ,b）, 以上区间为有限区间

而(-∞,+∞),(-∞,b),(a,+∞),(-∞,b],[q,+∞) 统称为无限区间 2.邻域 以点a为中心的开区间称为点a的邻域,记为Ua) 设80,(m-,a+8)称为点a的δ邻域,记作Ua, U(a,δ)={xa8<x<a+8},a为邻域的中心,8为邻域 的半径 a+6 x 点a的邻域去掉中心a,称为点a的去心δ邻域, 记作 (n,8)={0<kx-a<。}

以点 a 为中心的开区间称为点a 的邻域，记为U (a) 设 0,（a-，a+ ) 称为点 a 的  邻域，记作 U (a ,). U（a ,）={x| a- < x < a+ }, a 为邻域的中心，为邻域 。 。   记作 U 。 (a,  ) U 。 (a,  ) = x 0  x − a    点 a 的  邻域去掉中心 a , 称为点 a的去心  邻域 , a − a a + x 2.邻域 统称为无限区间. 的半径 而 (− ,+ ), (− ,b), (a,+ ), (− ,b], [a,+ )

二、函数概念 1定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数 集如果对于每个数x∈D,y按一定的法则总有确定的 数值和它对应,则称y是x的函数,记作y=f(x) D叫做定义域,x叫做自变量,y叫做因变量, y=f(x0)叫做函数在x=x处的函数值 W=vy=f(x),xED}称为函数的值域 函数也可记作F(x),g(x),(x)等

二、函数概念 1.定义 D 叫做定义域， x 叫做自变量， y 叫做因变量， y0= f ( x0 ) 叫做函数在 x = x0 处的函数值 W={y| y= f ( x ) , xD} 称为函数的值域 设 x 和 y 是两个变量, D是一个给定的数 数值和它对应,则称 y 是 x 的函数,记作 集.如果对于每个数 xD , y 按一定的法则总有确定的 函数也可记作 F(x), g(x),(x) 等. y = f ( x )

单值函数:y=x2+2x∈(-+∞ 多值函数:x2+y2=r2, y=-1-+5 函数的图形:C={x,y)|y=∫(x),x∈D 2确定函数的两要素定义域D对应关系∫ 例1判断下列各对函数是否相同 (1)f(x)=xg(x) (不同) 为什么 (2)f(x)=xM(x)=√x2(不同)2

单值函数: 多值函数: , 2 2 2 x + y = r , 2 2 y =  r − x 函数的图形: C = {(x, y) | y = f (x), x  D}. y = x + 2 x  (− ,+ ), 2 2.确定函数的两要素 定义域 D 对应关系 f 例1 判断下列各对函数是否相同 （1） f (x) = x x x g x 2 ( ) = （2） f (x) = x 2 h(x) = x （不同） （不同）

3分段函数 例2「3x,0≤x≤1, 3 ∫(x)= 3,1<x≤3, x,3<x≤5,1 0 ∫(x)的定义域为10,5,但它在定义域不同的区间上 是用不同的解析式表示的,这样的函数称为分段函数. 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集

例2              = , 3 5, 3, 1 3, 3 , 0 1, ( ) x x x x x f x f ( x) 的定义域为[0，5]，但它在定义域不同的区间上 是用不同的解析式表示的，这样的函数称为分段函数 . 3.分段函数 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 0 ·· 1 3 5 1 3 x y f ( x) 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集

例3 x,0≤x≤ y=1+x y=∫(x) y=ovx 1+x x>1, D={0,+∞),W=[0,+∞) X 也是分段函数 例4绝对值函数y=N={x,x2 x,x<0, D=(-∞+0),W=|0,+

,    +    = = 1 , 1, 2 0 1, ( ) x x x x y f x D = [0,+ ), 例3 也是分段函数. x y 0 y = 2 x y = 1 + x 1 例4 绝对值函数    −   = = , 0, , 0, x x x x y x y = x 0 x y D = (− ,+ ), W = [0,+ ). W = [0,+ )

例5取整函数y=[](不超过x的最大整数部分 如[z]=3,[-35]=-4 D=(-∞,+0) W=Z 3210123x阶梯曲线

例5 取整函数 y = x 如 [ ] = 3, [−3.5] = −4 3 y x 1 -3 -2 -1 o 1 2 3 -2 -1 -3 2 (不超过x的最大整数部分） 阶梯曲线 D = (− ,+ ), W = Z

例6符号函数 x> y=sgx=10,x=0, 1,x<0, D=(-∞+∞),W={-1,0,1} 例2、例3、例4、例5、例6都是分段函数

x y 0 例6 符号函数      −  =  = = 1, 0, 0, 0, 1, 0, sgn x x x y x -1 1 D = (− ,+ ), W = {−1,0,1}. 例2、例3、例4、例5、例6 都是分段函数