河南科技学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数 第一节空间直角坐标系 、空间点的直角坐标 、空间两点间的距离 三、小结

第一节 空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离 三、小结 第七章 空间解析几何 与向量代数

空间点的直角坐标 个坐标轴的正方向 z竖轴 符合右手系 即以右手握住z轴, 当右手的四个手指 定点O 从正向x轴以。角 卩纵轴 度转向正向y轴 横轴x 时,大拇指的指向 就是轴的正向 空间直角坐标系

横轴 x y 纵轴 z 竖轴 定点 o • 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向 符合右手系. 即以右手握住z 轴， 当右手的四个手指 从正向x 轴以 2 角 度转向正向y 轴 时，大拇指的指向 就是z轴的正向. 一、空间点的直角坐标

0 面 J0z面 xOy面 Ⅶx Ⅵ V 空间直角坐标系共有八个卦限

Ⅶ x o y z xoy 面 yoz 面 zox 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ

空间的点有序数组(x,y,x) 特殊点的表示:坐标轴上的点P,Q,R, 坐标面上的点A,B,C,O(0,0,0) R(0,0,z) B(0,y,x) x,0,4) rM(d, 3,2 00

空间的点  ⎯→ 有序数组 (x, y,z) 1−−1 特殊点的表示: O(0,0,0) • M(x, y,z) x y z o P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C

空间两点间的距离 设M1(x1,y1,x1)、M2(x2,y2,2)为空间两点 R d=M,M,=? 在直角△M1MM Q及直角△M,PN P 中,使用勾股定 0 y理知 d2=M,P +PN"+NM

设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 x y z o • M1 P N Q R •M2 d = M1M2 = ? 在直角M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定 理知 , 2 2 2 2 1 d 2 = M P + PN + NM 二、空间两点间的距离

R 15 PN=22-y1l, Q P 15 P++PN"+NM2 2 M1M2=(x2-x)2+(n2-n)+(z2-z) 空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为M(x,y,z),O(0,0,0) d=OM=、x2+y2+z2

,  M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M(x, y,z) , O(0,0,0) d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z o • M1 P N Q R •M2

例1求证以M1(4,3,1)、M2(7,2)、M3(5,2,3) 点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解M1M2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14 M, 3=(5-7)2+(2 (2-1)2+(3-2)2=6, M2M1=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6 M2M3=M3M1,原结论成立

例 1 求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 = 2 M1M2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, 2 2 2 − + − + − = = 2 M2M3 (5 7) (2 1) (3 2) 6, 2 2 2 − + − + − = = 2 M3M1 (4 5) (3 2) (1 3) 6, 2 2 2 − + − + − =  M2M3 , = M3M1 原结论成立

例2设P在x轴上,它到P(0,2,3的距离为 到点P2,1,-1)的距离的两倍,求点P的坐标 解因为P在x轴上,设P点坐标为(x,0,0, PR=√x2+(2)+32=√x2+11 PP2=x2+(-1)2+12=√x2+ P=2PP,∴x2+11=2x2+2 →x=士1,所求点为(1,0,(-10,0)

例 2 设P在x轴上，它到 (0, 2,3) P1 的距离为 到点 (0,1, 1) P2 − 的距离的两倍，求点P的坐标. 解 因为P在x轴上， 设P点坐标为 (x,0,0), PP1 = ( ) 2 2 2 x + 2 + 3 11, 2 = x + PP2 = ( ) 2 2 2 x + − 1 + 1 2, 2 = x +  PP1 =2 , PP2 11 2  x + 2 2 2 = x +  x = 1, 所求点为 (1,0,0), (−1,0,0)

空间直角坐标系(轴、面、卦限) (注意它与平面直角坐标系的区别) 空间两点间距离公式 M1M2=√(x2-x)+(v2-y)+(2-z

空间直角坐标系 空间两点间距离公式 （注意它与平面直角坐标系的区别） （轴、面、卦限） 三、小结 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z

思考题 在空间直角坐标系中,指出下列各 点在哪个卦限? A(1,-2,3),B(2,3,-4), C(2,-3,-4),D(-2,-3,1)

思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？ A(1,−2,3), B(2,3,−4), C(2,−3,−4), D(−2,−3,1)