河南科技学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 问题的提出 、对弧长的曲线积分的概念 三、对弧长曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结

第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 一 、问题的提出 二、对弧长的曲线积分的概念 三、对弧长曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结

、问题的提出 B 实例:曲线形构件的质量 (5,m)/M 2 匀质之质量M=p·s AM 分割 0 259 →>△S; 取(5;,m)∈As,△M1≈p(5,m) 求和M≈∑(5,m)A 近似值 精确值 取极限M=lim∑p(5,m)△s

一 、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn1 Mi Mi1 M2 M1 ( , ) i i  L 匀质之质量 M    s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M  s   ( , ) , i i i 取    s ( , ) . i i i i M      s 求和 ( , ) . 1     n i i i i M    s 取极限 lim ( , ) . 1 0     n i i i i M    s  近似值 精确值

二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,Mn把L分成n 个小段设第个小段的长度为△,又(,n)为第 个小段上任意取定的一点,y 作乘积f(ξ:,n)△s, (5;,7h M 并作和∑f(,m)△s, A M

二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1              n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一 点 个小段 设第 个小段的长度为 又 为第 在 上有界 用 上的点 把 分成 设 为 面内一条光滑曲线弧 函数  1.定义 o x y A B Mn1 Mi Mi1 M2 M1 ( , ) i i L

如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在,则称此极限为函数∫(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分,记作∫(x,y)d,即 被积函数 L ∫,f(y)h=lm∑f(5,n),△(积分和式 久→ i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=p(x,p)d

( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1  0           n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或 第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的 长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) .   L M  x y ds

闭新 2存在条件: 当∫(x,y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分』f(x,y)d存在 3推广 函数∫(x,y,z)在空间曲线弧T上对弧长的 曲线积分为 x,y2=m∑/(5,分)△

2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函数 f (x, y,z)在空间曲线弧 上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds   f  s        

注意: 1.若L(或是分段光滑的,(L=L1+L2) f(x,y)ds= f(x, y)ds+, f(x, y) L1+L2 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为f(x,y)d L

注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L  L1  L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2      L L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函数 在闭曲线 上对弧长的

4性质 (1),If(x,y)±8(x,y)lds=f(x,y)d±,(x,y)d (2)4f(x,y)s=k,f(x,y)d(k为常数) (3)f(x, y)ds=l. f(x, y)ds+l. f(x,y)ds. (L=L1+L2

4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) .       L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f ( x, y)ds (k为常数). L L  (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2      L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L  L1  L2

闭新 、对弧长曲线积分的计算 定理 设∫(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为{x=g(, (a≤t≤B)其中 ∪y=v(t), (t,y()在|a,止上具有一阶连续导数,且 「(x,)k=Oy(9(0)+y(ym (a<B)

三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2                               f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续

注意 1.定积分的下限a一定要小于上限B; 2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y=y(x)a≤x≤b. Ss(,yds=flEx, w(x)N1+w"(xdr(a<b)

注意: 1. 定积分的下限  一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y  (x) a  x  b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a    (a  b)

(2)L:x=φp(y)c≤y≤d f(x,y)ds=fo(), yh1+p"(y)dy (c< d 推广:T:x=g(t),y=v(t),z=0(1),(a≤t≤B) f∫(x,y,z)d ∫|q(,vy(t),m(切)p2(t)+y(t)+o2(t)dt (a<B)

推广:  : x  (t), y  (t), z  (t). (  t   ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2                    f t t t t t t dt f x y z ds (2) L : x  ( y) c  y  d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c     (c  d )