河南科技学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 定积分的应用

第六章定积分的应用 第一节定积分的元素法 问题的提出 、小结

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 一、问题的提出 二、小结

问题的提出 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线y y=∫(x) y=∫(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=、 x=b所围成。 b x f(r)d

回顾 曲边梯形求面积的问题  = b a A f (x)dx 一、问题的提出 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x)  0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)

面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,b分成n个长度为△x1的小区间 相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形,第 小窄曲边梯形的面积为4,则A=∑△4 (2)计算△4;的近似值 △41≈f(9)x;5;∈△x (3)求和,得A的近似值A≈∑f(5)△Ax

面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n 个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 = =  n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A  f ( )  i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A   f x = 

(4)求极限,得A的精确值 面 A=im∑f(5Ax=(x)积 提示若用△A表示任一小区间 兀素 「x,x+△x上的窄曲边梯形的面积, f(x 则A=∑△A,并取△A≈f(xdrl 于是A≈∑f(x)dtx A=limE(x)dc=f(x)dc axx+d5x

a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0   =  b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A  f ( x)dx， 于是A   f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) .  = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素

当所求量U符合下列条件: (1)U是与一个变量的变化区间a,b有关 的量; (2)U对于区间nb]具有可加性,就是说, 如果把区间[a,6分成许多部分区间,则相 应地分成许多部分量,而等于所有部分量之 和 (3)部分量△U的近似值可表示为f(5;)Ax; 就可以考虑用定积分来表达这个量

当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤: 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例为 积分变量,并确定它的变化区间a,b 2)设想把区间4,b分成n个小区间,取其中任 小区间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值如果U能近似地表示 为a,b上的一个连续函数在处的值∫(x)与 的乘积,就把f(x)x称为量的元素且记作 lU,即U=f(x);

元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x)dx；

3)以所求量U的元素f(x)为被积表达式,在 区间l,b上作定积分,得U=Jf(x), 即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长 功;水压力;引力和平均值等

3）以所求量U 的元素 f ( x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 =  b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．

小结 元素法的提出、思想、步骤. (注意微元法的本质)

元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） 二、小结

思考题 微元法的实质是什么?

思考题 微元法的实质是什么？

思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限

思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限