华南农业大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 方程（组）的迭代解法

第二章方程(组)的迭代解法 §1引言 方程「代数方程:fx)为有理系数多项式。(求代数根历程) fx)=0超越方程:除代数方程以外的方程,如f(x)是三 角函数、指数函数等等。 满足方程f(x)=0的x值称为方程的根或解,也叫做函数f(x)的 零点。如果x)=(Xag(x)且g(a)≠0,则称a为f(x)=0的m重根, m=1称为单根,m>1称为重根。 本章介绍求方程(组)的实根的数值方法之一—迭代解法 迭代解法要解决的问题: (1)确定根的初值; (2)将初值进一步精确化到需要的精度

§1 引言 方程 f(x)=0 第二章 方程（组）的迭代解法 代数方程：f(x)为有理系数多项式。 超越方程：除代数方程以外的方程，如 f(x)是三 角函数、指数函数等等。 本章介绍求方程（组）的实根的数值方法之一——迭代解法。 迭代解法要解决的问题： （1）确定根的初值； （2）将初值进一步精确化到需要的精度。 满足方程f(x)=0的x值称为方程的根或解，也叫做函数f(x)的 零点。如果f(x)=(x-a)mg(x)且g(a)≠0，则称a为f(x)=0的m重根, m=1称为单根，m>1称为重根。 （求代数根历程）

§2迭代解法 1、根的初值的确定方法 ①圈定根所在的范围; ②采取适当的数值方法确定出具有一定精度要求的初值。 定理1(根的存在定理或零点定理)设(x)为区间[a,b]上的 单值连续函数,如果f(a)f(b)-0,则[a,b]内至少有一个实根。 如果fx)在a,b]上还是单调函数,则仅有一个实根

§2 迭代解法 1、根的初值的确定方法 ① 圈定根所在的范围； ② 采取适当的数值方法确定出具有一定精度要求的初值。 定理1（根的存在定理或零点定理） 设f(x)为区间[a,b]上的 单值连续函数，如果f(a)f(b)<0，则[a,b]内至少有一个实根。 如果f(x)在[a,b]上还是单调函数，则仅有一个实根

(1)画图法 ①画出y=f(x)的略图,确定出曲线与x轴的交点的大体位置; 例1确定xlgx-1=0的初值。 xIgx-1 o-23

（1）画图法 ① 画出y=f(x)的略图，确定出曲线与x轴的交点的大体位置； 例1 确定 x x lg 1 0 − = 的初值。 y x x = − lg 1 O 2 3 x y

(1)画图法 ②如果y=f(x)的图形不易画出,可将x)=0分解成9(x)=2(x) 的形式,其中1(x)与(2(x)是较容易画出图形的函数,那么两 曲线的交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 例2确定xlgx-1=0的初值。 解:将xlgx-1=0y 改写为lgx= y=lgx o/123

② 如果y=f(x)的图形不易画出，可将f(x)=0分解成 的形式，其中 与 是较容易画出图形的函数，那么两 曲线的交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 1 2   ( ) ( ) x x = 1 2   ( ) ( ) x x （1）画图法 例2 确定 x x lg 1 0 − = 的初值。 解：将 改写为 x x lg 1 0 − = 1 lg x x = O 1 2 3 x y y x = lg 1 y x =

(1)画图法 注:对于某些看不清根的范围的函数,可以通过乘以一个较 大的系数以扩大函数值。 例3如图: y y=100f(x) 画图法的特点: y=f(x) 直观,但精度不高! 102030

（1）画图法 注：对于某些看不清根的范围的函数，可以通过乘以一个较 大的系数以扩大函数值。 y f x = ( ) O 10 20 30 x y y f x =100 ( ) 例3 如图： 画图法的特点： 直观，但精度不高！

(2)扫描法 ①对于给定的f(x)及含根区间[a,b],从x=a开始,以步长为 h=2a(m∈z)在a]内依次取节点x=x+i(i=0,1…,n) ②依次检查f(x)的符号,如果发现f(x)与f(x4)异号,则得 到一个有根区间[xk,x+]同样的方法继续下去,就可以找 出a,b]内的所有含根区间。 扫描法的关键在于选取合适的步长! 步长h过大—漏根; 步长h过小——计算量、存储量大,费时

（2）扫描法 ①对于给定的f(x)及含根区间[a,b]，从 开始，以步长为 在[a,b]内依次取节点： 0 x a = ( ) b a h n Z n − + =  0 ( 0,1, , ); i x x ih i n = + = ②依次检查 的符号，如果发现 与 异号，则得 到一个有根区间 同样的方法继续下去，就可以找 出[a,b]内的所有含根区间。 ( )i f x 1 ( ) ( ) k k f x f x + 1 [ , ], k k x x + 扫描法的关键在于选取合适的步长！ 步长h过大——漏根； 步长h过小——计算量、存储量大，费时

(3)对分法(二步法) ①取[a,b的中点r a+ b 计算fr) ②若f(a)f(r)=0,则x=r就是一个根;若f(a)f(r)>0,则取a=r; 若f(a)f(r)E(预先给定的精度要求),转向①,否则结束。 如果经n次对分后结束,则 In(b-a)Ine E,即n≥ 2 In 2 所得的含根区间依次为:[a,bl[a1,b][a2b2]…,[an,b] a t 在anbn]中任取一点或取中点作为初值,即:x=

（3）对分法（二步法） ①取[a,b]的中点 计算f(r) ②若f(a)f(r)=0,则x=r就是一个根；若f(a)f(r)>0,则取a=r； 若f(a)f(r)ε(预先给定的精度要求)，转向①，否则结束。 , 2 a b r + = , 2 n b a  −  即 ln( ) ln , ln 2 b a n − −   所得的含根区间依次为： 1 1 2 2 [ , ],[ , ],[ , ], ,[ , ] n n a b a b a b a b 在 [ , ] a b n n 中任取一点或取中点作为初值，即： 0 . 2 n n a b x + = 如果经n次对分后结束，则

例4用对分法求方程f(x)=x3x-1=0在区间[1,15内的根的初值 (E=05×102)。 解:取a=1,b=15,注意到f(1)=10,因此 在[a,b]内至少存在一个根。查看计算结果 当对分到第7次时,区间长度为0.0039<0005,满足精度 要求,取 1.3203+1.3242 =1.3223 2 对分法的特点: 可以求任意精度的方程的根,但计算量大

例4 用对分法求方程f(x)=x3 -x-1=0在区间[1,1.5]内的根的初值 （ε=0.5×10-2）。 解：取a=1，b=1.5，注意到f(1)=-10，因此 在[a,b]内至少存在一个根。查看计算结果 当对分到第7次时，区间长度为0.0039<0.005，满足精度 要求，取 0 1.3203 1.3242 1.3223. 2 x + = = 对分法的特点： 可以求任意精度的方程的根，但计算量大

作业 1课本P68第1题 要求:a.上机编程进行计算 b在作业本中写出完整解题步骤 2.预习§2

作 业 1.课本P68 第1题 要求：a.上机编程进行计算 b.在作业本中写出完整解题步骤 2. 预习§2

2、迭代法的求解过程 ①建立迭代公式: 将(x)=0变形为x=q(x)的等价形式,称x=9(x)为选代方 程,(x)为迭代函数 x=x3+2x2+x-4 4 例5f(x)=x3+2x2-4=0 x2+2x 可分解为: 4-x I 3 +2x 2 X三x 3x2+4x

2、迭代法的求解过程 ① 建立迭代公式： 将f(x)=0变形为x=φ(x)的等价形式，称x=φ(x)为迭代方 程， φ(x)为迭代函数。 例5 f(x)=x3+2x2 -4=0 可分解为： 3 2 2 3 3 2 2 2 4 4 2 4 2 2 4 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x  = + + −   =  +   −  =   + −  = −  +