高等教育出版社：《概率论与数理统计》课程教材教学资源（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布 在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变 量整体地讨论其结果如射击时考虑子弹在靶标 王上的位置我们用定义在同一个样本空间上的 庄两个随机变量X和Y分别表示子弹在靶标上的横 坐标与纵坐标,则子弹在靶标上的位置可用二维 庄随机变量或二维随机向量(x,Y表示 上或

第三章 多维随机变量及其分布 在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变 量整体地讨论其结果.如射击时考虑子弹在靶标 上的位置,我们用定义在同一个样本空间Ω上 的 两个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横 坐标与纵坐标,则子弹在靶标上的位置可用二维 随机变量或二维随机向量（X，Y）表示

王一般地没随机试验E的样本空间为Q=m,x=o 和-o分别是定义在同一个样本空间Q上的随 王机变量我们称向量(x,Y)为二维随机变量或二三 维随机向量类似地可定义三维随机变量以及任意 有限维随机变量我们把二维及二维以上的随机变 量称为多维随机变量本章主要讨论二维随机变量 其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三 维以上的随机变量 上或

一般地,设随机试验 E 的样本空间为  = { }  , X X = ( )  和Y Y = ( )  分别是定义在同一个样本空间Ω上的随 机变量,我们称向量（X，Y）为二维随机变量或二 维随机向量.类似地可定义三维随机变量以及任意 有限维随机变量.我们把二维及二维以上的随机变 量称为多维随机变量.本章主要讨论二维随机变量, 其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三 维以上的随机变量

§1二维离散型随机变量 上§11二维离散型随机变量及联合分布律 定义:如果二维随机变量(Ⅹ,Y)的可能取值是有 狠组或可列无限组(x,y=1,2…,则称(X,Y)为 维离散型随机变量,将(X,Y)取每组值的概率 P(X=x,Y=y)=P,i,=1,2,… 称为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律 午记号x=x=)表示随机事件(x=3)与=y)的 积事件即(x=y=y)(x=0=y)

§1 二维离散型随机变量 定义：如果二维随机变量（X，Y）的可能取值是有 限组或可列无限组( , ), , 1,2, i j x y i j = ,则称（X，Y）为二 维离散型随机变量,将（X，Y）取每组值的概率 ( , ) , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij 称为二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律. §1.1 二维离散型随机变量及联合分布律 记号( , ) X x Y y = = i j 表示随机事件( ) X x = i 与( ) Y y = j 的 积事件,即 ( , ) ( ) ( ) X x Y y X x Y y = = = = = i j i j

二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表 Y VI X P1 P12 Pi x P21 p2 x pil P12 上或

二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表 Y X 1 y 2 y j y 1 x 11 p 12 p 1 j p 2 x 21 p 22 p 2 j p i x i1 p i2 p ij p

王例:袋中有2个黑球3个白球从袋中随机取两次 王每次取一个球取后不放回令 X=10第一次取到自球”/1第二次取到黑球 1第一次取到黑球 0第二次取到白球 求(X、Y)的联合分布律 解(X,Y)的可能取值为(0,0)0,1)(1,0)(1,1) 出则xY)的联合分布律为 xY01P(x=0y=0)= 3×26 5×420 06/206/20 P(x=0y=)=3×26 5×420 16/202/20 上或

例: 袋中有 2 个黑球 3 个白球,从袋中随机取两次, 每次取一个球,取后不放回.令 1 1 , , 0 0 X Y   = =     第一次取到黑球 第二次取到黑球 第一次取到白球 第二次取到白球 求(X,Y)的联合分布律. 解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), 则(X,Y)的联合分布律为 3 2 6 ( 0, 0) 5 4 20 P X Y  = = = = X Y  0 1 0 6/20 6/20 1 6/20 2/20 3 2 6 ( 0, 1) 5 4 20 P X Y  = = = = 

工一 §1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质 性质10≤mn≤1 证因为0≤P(X=x1,y=y)≤1所以0sP≤1 性质2∑∑=1 i=1j=1 证∑∑n=∑∑x=x,Y=y)=P)=1 i=l j= 上或

§1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质 性质1 0 1 ij   p 0 ( , ) 1  = =  P X x Y y i j 0 1 ij 证 因为 ,所以   p 性质2 1 1 1 ij i j p + + = =  = 1 1 1 1 ( , ) ( ) 1 ij i j i j i j p P X x Y y P + + + + = = = = 证   = = = =  =

性质3联合分布律完全反映了(X,Y)的概率 性质:设G是一平面区域,则 P(X,Y)∈G)=∑P (x,y)∈G 即随机点(X,Y)落在区域G上的概率是(X, Y)在G上取值所对应的概率之和 证P(X,)∈G)=P(∪(x≤x,ysy) ≤x ∑P(x≤x,ysy)=∑ (x2y)∈G (x1,y)∈G 上或

性质 3 联合分布律完全反映了（X，Y）的概率 性质:设 G 是一平面区域,则 ( , ) (( , ) ) i j ij x y G P X Y G p   =  即随机点（X，Y）落在区域 G 上的概率是（X， Y）在 G 上取值所对应的概率之和. 证 , (( , ) ) ( ( , )) i j i j x x y y P X Y G P x x y y    =   ( , ) ( , ) ( , ) i j i j i j ij x y G x y G P x x y y p   =   =  

王例:令随机变量X表示在1234中等可能地取 值令随机变量Y表示在1~X中等可能地取 一个值求(X,Y)的联合分布律及X3y2 上解P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=jX=i}=(1/4)(/i) (≥),于是(,)的分布律为 3 4 14 12 2 1/8 1/12 1/16 3 0 1/12 1/16 4 0 0 /16 王 P(X<3, Y<2)2 +0+-+-++= 8812123 上或

Y X 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 解 P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i) (i≥j),于是(X,Y)的分布律为 例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取 一个值,令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取 一个值.求（X，Y）的联合分布律及 P X Y ( 3, 2)   . P X Y ( 3, 2)   1 1 1 1 1 2 0 4 8 8 12 12 3 = + + + + + =

王§2二维连续性随机变量 §2.1二维随机变量的联合分布函数 定义:设(,Y为二维随机变量,对任意实数x,y 元函数 F(x2y)=P(X≤x,Y≤y) 称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数 如果把(xy)看成是平面上随机点的坐标,则联合分布函数 F(xy)在点(xy)处的函数值就是随机点(X,Y)落在平面上的 c矩形区域G=(Xx)-<Xx<Ysy的概率 上或

§2 二维连续性随机变量 定 义: 设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x,y,二 元函数 F x y P X x Y y ( , ) ( , ) =   称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数. §2.1二维随机变量的联合分布函数 如果把(x,y)看成是平面上随机点的坐标,则联合分布函数 F x y ( , ) 在点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在平面上的 矩形区域G X Y X x Y y = −   −   {( , ) | , }的概率

工一 设二维离散型随机变量X和Y具有分布律 PX=Xi, Y=yi-pij ,2,),则二维 离散型随机变量(X,Y的联合分布函数为 F(xy)=P( XSx,rsy)=∑∑P2 xisxyisy 其中和式是对一切满足x;≤x,y≤y的来求 和的 上或

( , ) ( , ) i j ij x x y y F x y P X x Y y p   =   =   • 设二维离散型随机变量X和Y具有分布律 P{X= xi,Y= yj}=pij ,(i,j=1,2,...)，则二维 离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y的来求 和的