《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）2.2 导数的基本公式和运算法则

2.2导数的基本公式和运算法则 、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的导数 、复合函数的求导法则 四、隐函数的求导法则 五、参数方程求导法则 六、对数求导法则 七、基本求导公式

2.2 导数的基本公式和运算法则 二、反函数的导数 四、隐函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 三、复合函数的求导法则 五、参数方程求导法则 六、对数求导法则 七、基本求导公式

函数的和、差、积、商的求导法则 设函数=(x)及y=v(x)在点可导,则±v, l·v,(p≠0)在点x处也可导,且 1.(a±)=n土p可以推广到有限个 )=v+v 特别地,(cd)=Cn.C为常数 3. 2

一、函数的和、差、积、商的求导法则 设函数u = u(x)及v = v(x)在点x可导， v 在点x处也可导，且 v u (  0) (u v) = u   v    (uv) = u  v + uv   2 v u v uv v u  −  =        1. 可以推广到有限个 2. 3. (Cu) = Cu .  特别地, C为常数. 则u  v， u v

证2.设f(x)=u(x)·v(x), ∫(x)=lim f∫(x+△x)-f(x) △ lim u(x+ Ax) v(x+Ax)-u(x)v(x) △ = lim (u(x)+AuXv(x)+Av)-u(x).v(x) △x→>0 △ v(x)△+l(x)△v+△△v △→>0 △v

x u x x v x x u x v x x  +   +  −  =  → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 ( )( ) x u x u v x v u x v x x  +  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 2. 设f (x) = u(x) v(x), x f x x f x f x x  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 证 x v x u u x v u v x   +  +   =  → ( ) ( ) lim 0

=v(x)Iimx+l(x)im+历M △ △ν lim△p Ax-0vAx>0△y4x→>0 =u'(x)v(x)+l(x)v(x), 3.设/(1)s4(x) p),w(x)≠0,由导数定义有 ∫(x)=im f(x+△x)-f(x) A→>0 △ u(x+△x)u(x) lim v(x+ Ar)v(x) △x→>0 △v

= u(x)v(x) + u(x)v(x), v x u x v u x x u v x x x x x         0  0  0  0 ( ) lim ( ) lim lim lim → → → → = + +  设 , ( ) 0, 由导数定义有 ( ) ( ) 3. ( ) = v x  v x u x f x x f x x f x f x x  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 x v x u x v x x u x x x  − +  +  =  → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0

u(x)+△u(x) △ 儿 △p lim叫(x)+△"v(x) v(x)一u(x) lim △→>0 △ △x→0v(x)[v(x)+△v u(rv(x)-u(rv(x) v(x)2 函数f(x)在点处也可导且 f'(x) u(rv(x)-u(rv(x) v(x)

x v x u x v x v u x u x  − +  +  =  → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 ( )[ ( ) ] ( ) ( ) lim 0 v x v x v x v u x x u v x x +    −   =  → 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) v x u x v x − u x v x = 函数f (x)在点x处也可导,且 . [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x u x v x f x  −   =

例1已知y=2x3-5x2+3x-7,求 解y=(2x3-5x2+3x- x2)-5(2)+x(x)-() =2.3x2-5.2x+3=6x2-10x+3. 例 2已知f(x)=x3+4cosx-sin。, 求∫(x)及f( 解y(x)=3x2-4sinx, 兀、3

y = 2x − 5x + 3x − 7, y 例１ 已知 3 2 求 解 ( )   = 2 − 5 + 3 − 7 3 2 y x x x ( ) ( ) ( ) ( )  −  +  −  = 2 5 3 7 3 2 x x x 2 3 5 2 3 2 =  x −  x + 6 10 3. 2 = x − x + 例２ 已知 ). 2 , ( ) ( 2 ( ) 4cos sin 3 π π f x = x + x − 求 f  x 及 f  解 4. 4 3 ) 2 ( 2 =  −  f  ( ) 3 4sin , 2 f  x = x − x

例3已知y=e(imx+csx求y A y '=("(sin x+c0. x)+e"(sin x+cos x) e" sinx+ coSx +e cosx-sin = 2e cos x

例３ 已知 y = e (sin x + cos x), y  . x 求 ( ) ( ) ( )  + + +  y  = x x x x x x e sin cos e sin cos ( x x) ( x x) x x = e sin + cos + e cos − sin 2 cos x. x = e 解

例4已知y=tanx,求y 解y=(anx) SInx cos X sInx cosx-sin ricos cos式 2 cOSC+sinx 2 cos x CO2=sec x. tanx=sec x 类似地有(cotx) csc r

例４ 已知 y = tan x, 求 y  解 ( )        =   = x x y x cos sin tan ( ) ( ) x x x x x 2 cos sin cos sin cos  −  = x x x 2 2 2 cos cos + sin = sec . cos 1 2 2 x x = = ( x) x 2 tan = sec  类似地有 ( x) x 2 cot = −csc 

例5已知y=secx,求y 解y=(ecx)= cosx-1·(cOsx cos x cos x SInd secx tanx cos x secx)=secxtan x 类似地有 cscx=-cscxcot x

( ) ( ) x x x 2 cos 1 cos 1 cos  −   = sec tan . cos sin 2 x x x x = = (secx) = secx tan x  (csc x) = −csc x cot x  例５ 已知 y = secx, 求y  解 ( )        =   = x y x cos 1 sec 类似地有

二、反函数的导数 设函数=p()是单调可导的y=f(x)是它的反 函数则 f()=lim △ △x+0△x△x→0△xq’(x) △ 即y=f(x)在x可导, 且f(x)= '(x)

二、反函数的导数 设函数x = ( y)是单调可导的, y = f (x)是它的反 函数则 f '(x) x y x   =  →0 lim 即 y = f (x) 在 x 可导, 且 ( ) 1 '( ) x f x  = y x x   =  → 1 lim 0 . ( ) 1  x =