上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第四章 级数 §4.1 幂级数

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第四章 级数

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1.复级数与幂级数 2.解析函数的Taylor展开 3.解析函数的Laurent)展开 4.孤立奇点

1. 复级数与幂级数 2. 解析函数的Taylor展开 3. 解析函数的Laurent展开 4. 孤立奇点

上游充通大 §4.1幂级数 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 4.1.1复数项级数 ∑2n(或∑2n)=乙+z2+2n+, n=1 其部分和序列为{Sn},其中Sn=1+22+…+2n 称为通项 若序列{Sn}收敛且极限是 s,那么称级 数收敛到s,记作 =5 +0 n=1 若序列{S}发散，则称级数∑n发散

其部分和序列为 ( ) ... ...., 1 2 1 ∑ ∑ = + + + +∞ = n n n n z 或 z z z z { } ... . n n 1 2 n S ，其中S = z + z + + z 若序列 收敛且极限是 s ，那么称级 数收敛到 s ，记作 { } Sn 1 n n z s +∞ = ∑ = n z { }n S § 4.1 幂级数 4.1.1 复数项级数 称为通项. 若序列 发散，则称级数 ∑ 发散. n z

上游充大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 定义（数列{Sn}极限） 设s是一个复常数。如果任给>0 可以找到一个正数N,使得当n>W时， S,-sK8 那么我们说S,收敛或有和s,或者说S 是收敛序列，并且收敛于s,记作 lim S, S

定义（数列 极限） 设s是一个复常数。如果任给 ， 可以找到一个正数N，使得当n>N时， ε > 0 | | n S s − < ε 那么我们说Sn收敛或有和 s，或者说Sn 是收敛序列，并且收敛于s，记作 lim . n n S s →+∞ = { } Sn

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 命题：令 an =Rezn,bn Imzn,a=Res,b Ims 则有 ∑24=∑a,+2b: k=1 k=1 k=1 因此，级数∑zn 收敛于s的充要条件是： 级数∑an收敛于a以及级数∑b.收敛于b

命题 : 令 a z b z a sb s n nn n = = = = Re , Im , Re , Im 则有 11 1 nn n kk k kk k z aib = = = ∑∑ ∑ = + 因此，级数 收敛于s 的充要条件是： 级数 ∑an 收敛于a 以及级数∑bn 收敛于b。 ∑ n z

上游充大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 对于复数项级数∑，如果级数∑收敛， 我们称级数∑zn绝对收敛。 注1：级数z,绝对收敛充要条件是： 级数∑an以及∑b绝对收敛. 21a,及26，s21==2@+6低s1a+∑1bb 注2：绝对收敛→收敛。 注3：收敛的必要条件：通项 >0

∑| | n z 注2：绝对收敛 ⇒ 收敛。 对于复数项级数 ，如果级数 收敛， 我们称级数 绝对收敛。 ∑ n z ∑ n z 注1： 级数 绝对收敛充要条件是： 级数 以及 绝对收敛. ∑ n z ∑an ∑bn | | | | | | | | | |, 1 1 1 2 2 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = ≤ = + ≤ + k k n k k n k k k n k k n k k n k ak 及 b z a b a b 注3 0 ：收敛的必要条件： 通项 →

上降充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 例：当k1时，几何级数 1+0+02+..+0”+… 绝对收敛；并且有 1+a+a2++a"= 1-lim nti =0 1-0 n-→+o0 我们有，当x长1时， 1 1+a+02++0”+..= 1-0

例：当 |α |<1 时，几何级数 1 ... ... 2 + + + + +n α α α 绝对收敛；并且有 , lim 0 1 1 1 ... 1 1 2 = − − + + + + = + →+∞ + n n n n α α α α α α 我们有，当 时， . 1 1 1 ... ... 2 α α α α − + + + + + = n |α |<1

上海气通大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 注：实数项级数的收敛准测可 以用来判断复数项级数的绝对收敛性： 设∑为正项实级数， Cauchy判别法 （根式）：lim< D'Alembert判别法（比值） Veierstrass判别法（比较）： zn≤a,∑an收敛

∑| | n z lim | | <1. →∞ n n n z | |≤ ,∑ 收敛. n n n z a a 注：实数项级数的收敛准则可 以用来判断复数项级数的绝对收敛性： Cauchy 判别法（根式）： D’Alembert 判别法（比值）： Weierstrass 判别法（比较）： 设 为正项实级数， lim | | 1. 1 < + →∞ n n n z z

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 4.1.2幂级数 定义：称特殊的函数项级数 ∑cn(z-a4)”=c+c(z-a)+c2(z-a)2 n=0 +…+Cn(z-)”+… 或 ∑cn2”=C+C2+c2z2+…+cn2”+, n=0 为幂级数。 前n项的和称为部分和S,(2)=∑c(z-a). k=0

4.1.2 幂级数 为幂级数。 , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0     = + + + + + + + − + − = + − + − ∑ ∑ ∞ = ∞ = n n n n n n n n n n c z c c z c z c z c z a c z a c c z a c z a 或 定义：称特殊的函数项级数 0 ( ) ( ). n k n k k Sz cz a = 前n项的和称为部分和 = − ∑

上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 若对z。∈E,有limS(zo)=f(zo),则称z为收敛点， →00 级数在z处收敛于f(z),或者有和函数f(z): 设函数z)在E上有定义，若在E上每一点z,级 数都收敛于z),那么称它在E上收敛于孔z),或 者有和函数孔z),记作 ∑cn(z-a)=f(z) k=0 级数的所有收敛点组成的集合称为收敛域。 定义（绝对收敛）： ∑1f(z)川在E上收敛。 n=1

| ( ) | 1 ∑ ∞ n= n 定义（绝对收敛）： f z 在E上收敛。 设函数f(z)在E上有定义，若在E上每一点z，级 数都收敛于f(z)，那么称它在E上收敛于 f(z)，或 者有和函数 f(z)，记作 0 00 0 0 0 0 , lim ( ) ( ) ( ) ( ). n n z E S z fz z z fz f z →∞ 若对 ∈ = 有 ，则称 为收敛点， 级数在 处收敛于 ，或者有和函数 级数的所有收敛点组成的集合称为收敛域。 0 ( ) ( ). n k n k c z a fz = ∑ − =