上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第七章 积分变换（Fourier 变换）§7.3 δ 函数 §7.4 Fourier变换的性质

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY § 7.3 δ函数

§ 7.3 δ 函数

上游究通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 1.δ函数的定义 问题 质点的密度函数如何表示？瞬时电流强度？ 思路 ·质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； ·一个位于t的单位质点，质量函数为： 1,t=o m-o)F0,i≠， 极限密度为δ(tt)(Diraci函数)，一般定义为 0,1=t0 δt-i)=0,t* 且∫nδt-t)dt=1

1. δ 函数的定义 问题 • 质点的密度函数如何表示？瞬时电流强度? 思路 • 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； • 一个位于t0的单位质点，质量函数为: 0 0 0 , ( ) 0, t t t t t t δ ∞ = − =   ≠ 0 0 0 1, ( ) 0, t t mt t t t  = − =   ≠ 极限密度为δ(t- t0) (Dirac函数）, 一般定义为 0 δ ()1 t t dt ∞ −∞ − = 且 ∫

上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY δ函数为脉冲函数列的极限 设矩形脉冲函数 tk 0,|t-t>8 定义6-函数：dt-)=limm,(t-to) oo,t=to u-6M- dt =1

设矩形脉冲函数 ( ) lim ( ). 0 0 0 − t − t = t − t → ε ε 定义δ 函数：δ δ 1 2 1 ( ) 0 0 − 0 = = ∫ ∫ + − +∞ −∞ ε ε ε ε δ t t 注： t t dt dt 0 0 0 1 ,| | ( ) 2 0, | | t t t t t t ε ε δ ε ε   − 0 0 0 0 , ( ) 0, t t t t t t ε δ → ∞ = → − =   ≠ δ 函数为脉冲函数列的极限

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 注：在t,处连续函数f(t)-检验函数 1)f(d-im(1)fd -ea 积分中值定理 = f() ()定义6-函数：6(t-to)=lim6(t-to), S0 2)定义6(t-t)满足： ·δt-i)dt=1 (3)定义6-函数：rδt-o)f)dh=f, f(t)在t处连续

( ) 1 , 0 ( ) 2 ( ) 0 0 0 0 0 • − =    ∞ = ≠ • − = − ∫ +∞ −∞ t t dt t t t t t t t t δ δ δ ， （ ）定义 满足： 0 0 0 (3) ( ) ( ) ( ), ( ) t t f t dt f t ft t δ δ +∞ −∞ − −= 定义 函数： ∫ 在 处连续. 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )-- ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 2 t t t f t t t f t dt t t f t dt f t dt f t ε ε ε ε ε δ δ ε +∞ +∞ −∞ → −∞ + → − ∀ −= − = = ∫ ∫ ∫ 积分中值定理 注： 在 处连续函数 检验函数 (1) ( ) lim ( ). 0 0 0 − t − t = t − t → ε ε 定义δ 函数：δ δ

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY δ(t-t)的导数 定义6(t-t)的导数满足： 8(u-o)f)dh=(-l)fo)力 这里fm(t)存在，且1 lim fo(t)=0,k<n

0 δ ( ) t t − 的导数 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 | | ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) lim ( )=0, . n n n n k t t t t t f t dt f t f t f t kn δ δ +∞ −∞ →∞ − − =− < ∫ 定义 的导数满足： ， 这里 存在，且

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.δ-函数的Fourier变换 -a=咖-ty-北1 & 1,t> 单位阶跃函数 →u'(t-t)=δ(t-to) r[bt-】=J8t-4)erdt=e e 反之，a-4)=r'e]-27Je-da →eo-o'do=2nit-）

2. δ-函数的Fourier变换 0 0 0 0 1, () () 0, t t t t t dt u t t t t δ −∞  > − = −=   < ∫ 单位阶跃函数 0 0 ⇒ ut t t t '( ) ( ) −= − δ 0 0 0 0 [ ( )] ( ) it it t t i t t t e t te d e t ω ω ω δ δ +∞ − − − = − ∞ − = − = = ∫ F 2 ( ) 2 1 ( ) [ ] 0 ( ) 1 ( ) 0 0 0 0 e d t t t t e e d i t t i t i t t ⇒ = − − = = ∫ ∫ +∞ −∞ − +∞ −∞ − − − ω πδ ω π δ ω ω ω 反之， F

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 注：引进δ-函数后，可以扩充原像空间与像空间： f(t):f(t)是(-o,+o)上的允许含6-函数 D=了及其导数的实值函数，存在F(o)与f(t) 成为一组Fourier?变换对 F(o):F(o)是(-o∞，+∞)上的允许含δ-函数 R=的F-变换及其导数的复值函数，存在f(t)与F(o 成为一组Fourier?变换对

注：引进δ-函数后，可以扩充原像空间与像空间：           − −∞ +∞ − =           −∞ +∞ − = 成为一组 变换对 的 变换及其导数的复值函数，存在 与 是 上的允许含 函数 成为一组 变换对 及其导数的实值函数，存在 与 是 上的允许含 函数 Fourier ( ) ( ) ( ): ( ) ( , ) Fourier ( ) ( ) ( ): ( ) ( , ) ω ω ω δ ω δ F f t F F F F f t f t f t R D

上游充通大学 新明单阶妖函数u0= SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 0,t0 的F-变换为 .+π6(o) 1) u(t) IF(o训 亦 t 0

( ). 1 1 0 0, 0; : ( ) πδ ω ω − +    > < = i F t t u t 的 变换为 例 证明单位阶跃函数 π O ω |F(ω)| O t u(t)

上游充大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 证：若F(=,+π6(o)→ iw f(t)=.子-1[F(ω]=u(t) 0yro1oeda do oedw+3a0eaw 2

1 0 1 1 ( ) [ ( )] () d 2 1 1 () d d 2 2 1 1 sin () d d 2 2 1 1 sin d () 2 i t i t i t i t ft F e i e e i t e t u t ω ω ω ω ω πδ ω ω π ω πδ ω ω ω π π ω ω δω ω ω π ω ω ω π ω +∞ − −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞   = = +     = + = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ F 1 1 () () ( ) [ ( )] ( ) F i f t F ut ω πδ ω ω ω − =+ ⇒ = = 证：若 F

sin wdo 则 O π2 π 0 t 1 0, t<0 2

   > = − < = = ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ 1, 0 0, 0 d 1 sin 2 1 ( ) , 0 2 0, 0 , 0 2 d sin , 2 d sin 0 0 0 t t t f t t t t t ω ω ω π π π ω ω ω π ω ω ω 因为 则