上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第二章 解析函数 §2.3 初等函数 §2.4 解析函数和调和函数的关系

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §2.3初等函数 可以将复变数的初等函数作为实变数 的初等函数在复数域中的自然推广. 2.3.1初等解析函数 2.3.2初等多值函数

可以将复变数的初等函数作为实变数 的初等函数在复数域中的自然推广. 2.3.1 初等解析函数 2.3.2 初等多值函数 §2.3 初等函数

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.3.1初等解析函数 1.指数函数 定义（指数函数）： e=e(cosy+isin以，z=x+iy∈C. e =e',Arge=y+2kπ，k=0,±1，±2，… 注：当y=0,f(x)=e,即通常意义下的R上的指数函数

2.3.1 初等解析函数 e e ( cos y isin y), z x iy C. z x = + = + ∈ 注：当y = 0, f (x) = ex ，即通常意义下的R上的指数函数。 定义（指数函数）： | e z |= ex , Argez = y + 2kπ，k = 0,±1,±2, 1. 指数函数

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 指数函数的基本性质 (1)指数函数w=e在整个C上有定义，且e2 ≠0. (2)指数函数代数性质（加法定理）：e2e2 21+22 Pf:若1=x+y,2=x2+y2,则 ee=e(cosy+isiny)e(cosy2+isin y2) =e [cos(y+y)+isin(+)]=e

指数函数的基本性质 若 ，则 指数函数代数性质（加法定理）： 1 1 1 2 2 2 z : , (2) e . 1 2 1 2 Pf z x iy z x iy e e z z z = + = + = + (1) C e 0. z 指数函数 = 在整个 上有定义，且 ≠ z w e 1 2 1 2 1 2 1 2 [cos( ) sin( )] (cos sin ) (cos sin ) 1 2 1 2 1 1 2 2 x x z z z z x x e y y i y y e e e e y i y e y i y + + = + + + = = + • +

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (3)指数函数w=e在整个复平面是解析， 且有(e)'=e. (4)w=e是以2π为周期的周期函数. 即 e2+2m=ee2m=e(cos2π+isin2π)= e。 (5)指数函数的渐进性态：z→0时， e极限不存在

(5) z z e 指数函数的渐进性态： → ∞时， 极限不存在。 即 ez+2πi = e z e 2πi = e z (cos2π + isin 2π ) = e z 。 (4) 2 . z we i = 是以 π 为周期的周期函数 ( )' . (3) z z z e e w e = = 且有 指数函数 在整个复平面是解析

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 2.三角函数 对任何复数z,定义余弦函数和正弦函数： e-ei COSZ= -sin= 2 2i 则对任何复数z,Euler公式也成立： e cos z+isin z. 注：当z∈R,三角函数即通常意义下的 R上的三角函数

2. 三角函数 e cosz isin z. iz = + 对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数： , 2 , sin 2 cos i e e z e e z iz −iz iz −iz − = + = 则对任何复数z，Euler公式也成立： z R R 注：当 ∈ ，三角函数即通常意义下的 上的三角函数

w=sin(z)实邮的图像 300 200 100 0 -100 -200 -300 10 5 10 0 5 0 5 5 y -10-10

上游充通大学 三角函数的基本性质 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (1)当z∈R,正余弦函数即通常意义下的R上的三角函数。 (2)cosz是偶函数，sinz是奇函数. e-)+e-）ee+e c0s(-z)= cosz, 2 2 (3)cosz和sinz是以2π为周期的周期函数： e(z+2r）-ei+2) sin(z+2π)= =S1n2, 2i

三角函数的基本性质 (3) cosz和sinz是以 为周期的周期函数: sin , 2 sin( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) z i e e z i z i z = − + = + π − + π π (2) cosz是偶函数，sinz是奇函数. cos , 2 2 cos( ) ( ) ( ) z e e e e z i z i z iz iz = + = + − = − − − − 2π (1)当 , z R ∈ 正余弦函数即通常意义下的R上的三角函数

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (4)基本所有三角恒等式仍然成立. (a)sin2 z+cos2 z=1. 因为osg+sn2:-(e+8+e, -12 2 2i e2:+e2:+2e2:+e2:-2 =1. 4 2 (b)sin(z1±z2)=sinz1c0sz2±c0sz1Sinz2, C0s(21±z2)=c0sz1c0sz2干SinZ1Sinz2:

( )sin cos 1. 2 2 a z + z = 1. 2 2 4 2 ) 2 ) ( 2 cos sin ( 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − − + + = − + + + = − − − − i z i z i z i z iz iz iz iz e e e e i e e e e 因为 z z (4) 基本所有三角恒等式仍然成立. cos( ) cos cos sin sin . ( )sin( ) sin cos cos sin , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z b z z z z z z ± =  ± = ±

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (5)cosz和sinz在整个复平面解析. (cosz)'=-sin z,(sin z)'=cos z. 证明： d d +e i ie ie -iz z e e 二 dz dz 2 2 2i d d i-ei ie+ie 二 CoS Z. dz dz 2i 2i 2

(5) cosz和sinz在整个复平面解析. 证明： (cosz)'= −sin z, (sin z)'= cosz. cos . 2 2 2 sin sin , 2 2 2 cos z e e i ie ie i e e dz d z dz d z i e e ie ie e e dz d z dz d iz iz iz iz iz iz iz iz iz iz iz iz = + = + = − = = − − = − − = + = − − − − − −

上游充大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (6) cosz在复平面的零点是 π Z= +kπ(k∈Z). 2 sinz在复平面的零点是 z=kπ(k∈Z). (7)|cosz,Isinz在复域上不再有界

(6) cosz在复平面的零点是 sinz在复平面的零点是 ( ). 2 z = + kπ k ∈ Z π z = kπ (k ∈ Z). (7) | cos |,| sin | z z 在复域上不再有界