西安电子科技大学：《矩阵论》课程教学资源（电子讲义）第一讲 线性空间（主讲：黄丘林）

第一讲线性空间 1

第一讲 线性空间 1

一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并(U),交（∩） 另外，集合的“和”（十）：并不是严格意义上集合的运算，因为 它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数 域、实数域(R)和复数域(C)。实数域和复数域是工程上较常用的两 个数域。 2

一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为 它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数 域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两 个数域。 2

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的 重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1.线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其 元素用k,1,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]： (I)在V中定义一个“加法”运算，即当x,y∈V时，有唯一的和 x+y∈V(封闭性)，且加法运算满足下列性质： (1)结合律 x+(y+z)=(x+y)+z; (2)交换律 x+y=y+x; (3)零元律 存在零元素O,使x+O=x; 3

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的 重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用xyz , , 等表示；K 是一个数域，其 元素用klm , , 等表示。如果V 满足[如下 8 条性质，分两类]: （I）在V 中定义一个“加法”运算，即当 xy V , ∈ 时，有唯一的和 x yV + ∈ （封闭性），且加法运算满足下列性质: （1）结合律 x yz xy z ++=++ ( )( ) ； （2）交换律 xyyx +=+ ； （3）零元律 存在零元素O，使xO x + = ； 3

(4)负元律 对于任一元素x∈V,存在一元素y∈V,使 x+y=O,且称y为x的负元素，记为(-x)。则有x+(-x)=O。 (I)在V中定义一个“数乘”运算，即当x∈V,k∈K时，有唯一 的∈V(封闭性)，且数乘运算满足下列性质： (5)数因子分配律 k(x+y)=kx+ky; (6)分配律 (k+1)x=kx+x; (7)结合律 k()=(kl)x; (8)恒等律 1x=x; [数域中一定有刂 则称V为数域K上的线性空间

（4）负元律 对于任一元素 x V∈ ，存在一元素 y V∈ ，使 xyO + = ，且称 y为x的负元素，记为（−x）。则有x xO +− = ( ) 。 （II）在V 中定义一个“数乘”运算，即当 x Vk K ∈ ∈ , 时，有唯一 的kx V∈ （封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 k x y kx ky ( ) +=+ ； （6）分配律 ( ) k l x kx lx + =+ ； （7）结合律 k lx kl x () () = ； （8）恒等律 1x x = ； [数域中一定有 1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 4

注意以下几点： 1)线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数 域不同，该集合构成的线性空间也不同。 2)两种运算、八条性质。数域K中的运算是具体的四则运算，而 V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 3)除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一 性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运 算本身就不满足。 当数域K为实数域时，V就称为实线性空间；K为复数域，V就 称为复线性空间。 5

注意以下几点： 1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数 域不同，该集合构成的线性空间也不同。 2）两种运算、八条性质。数域K 中的运算是具体的四则运算，而 V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。唯一 性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运 算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就 称为复线性空间。 5

例1.设R={全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x田y=Xy,kox=x 证明：R是实数域R上的线性空间。 [证明]首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性 唯一性显然 若x>0,y>0,k∈R,则有 x田y=y∈R,kox=x“∈R封闭性得证。 ②八条性质 (1)x田(y田z)=x(Uz)=(xy)z=(x田y)田z[结合律] 6

例1．设R+ ={全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y xy = , k kx x  = 证明：R+ 是实数域R上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性 唯一性显然 若x > 0, y > 0, k R ∈ ，则有 x y xy R+ = ∈ ， k kx x R+  = ∈ 封闭性得证。 ②八条性质 （1） x ( y z x yz xy z x ) ()() ( = = = y) z [结合律] 6

(2)xEy=Xy=x=y田x [交换律] (3)1是零元素x田l=x.1=x [零元律] [x0=x→x0=x→O=1] (4)是x的负元素x知=x·=1 [负元律] (5)ko(xmy)=(xy)=xy=(kox)(koy) [数因子分配律] (6)(k+1)ox=x+=xx=(kox)(1ox) [分配律] (7)ko(1ox)=(x)*=x=(kl)ox [结合律] (8)1ox=x=x [恒等律] 由此可证，R是实数域R上的线性空间。 7

（2） x y xy yx y = = = x [交换律] （3） 1 是零元素 x 1 1 = ⋅= x x [零元律] [ x O x xO x O =→ =→ =1] （4） 1 x 是x的负元素 x 1 1 x 1 x x =⋅ = [负元律] （5）k x ( )() ( ) k kk y xy x y k x = = =  ( ) k y  [数因子分配律] （6） ( ) ( ) kl k l k l x x xx k x + + == =   ( ) l x  [分配律] （7） ( ) () () l k kl k l x x x kl x   = = =  [结合律] （8） 1 1 xx x = = [恒等律] 由此可证， R+ 是实数域R上的线性空间。 7

2.定理：线性空间具有如下性质 (1)零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 (2)如下恒等式成立：0x=O,(-1)x=(-x)。 [证明](1)采用反证法： ①零元素是唯一的。设存在两个零元素O和O2,则由于O和 O,均为零元素，按零元律有 [交换律] 01+02=01=02+01=02 所以 01=02 即O和O,相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 8

2．定理：线性空间具有如下性质 （1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 （2）如下恒等式成立： 0x O= ，( 1) ( ) − =− x x 。 [证明]（1）采用反证法： ①零元素是唯一的。设存在两个零元素O1和O2，则由于O1和 O2均为零元素， 按零元律有 [交换律] OO OOOO 121 21 2 +==+= 所以 O O 1 2 = 即O1和O2相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 8

②任一元素的负元素也是唯一的。假设Vx∈V,存在两个负元 素y和z,则根据负元律有 x+y=0=x+2 y=y+O=y+(x+)=(y+x)+2=O+z=z [零元律] [结合律] [零元律] 即y和z相同，故负元素唯一。 (2)①：设w=0x,则x+w=1x+0x=(1+0)x=x,故w=O。 [恒等律] ②：设w=(-1)x,则x+1w=1x+(-1)x=0x=O,故w=-x。 9

②任一元素的负元素也是唯一的。假设∀ ∈x V ，存在两个负元 素 y和z，则根据负元律有 xyOxz += =+ y yO y xz yx zOz z =+ =+ + = + += += ( )( ) [零元律] [结合律] [零元律] 即 y和z相同，故负元素唯一。 （2） ①：设w x = 0 ，则xw x x xx += + =+ = 1 0 (1 0) ，故w O= 。 [恒等律] ②：设w x = −( 1) ，则xw x x xO + = +− = = 1 ( 1) 0 ，故w x = − 。 9

3.线性相关性 线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。 线性组合：x,x2…,xm∈V,C1,C2…,Cm∈K cx+02++cmxn=∑cx 称为元素组x,x2…,xm的一个线性组合。 ·线性表示：V中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合， 则称x可由该元素组线性表示。 ·线性相关性：如果存在一组不全为零的数C1,C2…,Cm∈K,使得对 于元素x,x2…,xm∈V有 10

3．线性相关性 线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。 •线性组合： 1 2 1 2 , , ,, , m m ∀∈ ∈ x x x Vcc c K   11 2 2 1 m mm ii i cx c x c x cx = + ++ =  ∑ 称为元素组 1 2 , , m xx x  的一个线性组合。 •线性表示：V 中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合， 则称x可由该元素组线性表示。 •线性相关性：如果存在一组不全为零的数 1 2 , , m cc c K  ∈ ，使得对 于元素 1 2 , , m xx x V  ∈ 有 10