《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十一章 重积分 第五节 三重积分

第二十一章 重积分第五节三重积分一三重积分的概念定义1 设f(x,y,z）为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，J是确定的数，若对任给的整数，总存在一整数 ，使得对于 V 的任何分割 T，只要 ITIl<,Z f(ci,ni,5,)AV, -J<8属于分割T的所有积分和都有1i-1f(x,y,2) 则称在 V 上可积，数 J 称为函数 f(x,y,z)在　√上的三重积分

在一整数 第五节 三重积分 第二十一章 重积分 一 三重积分的概念 定义1 设 f (x, y,z) 为定义在三维空间可求体积的有界闭 区域上的函数， 是确定的数，若对任给的整数  ，总存  ，使得对于 V 的任何分割 T ，只要 || || , T   属于分割 T 的所有积分和都有      −   = n i i i i i f V J 1 ( , , ) 则称在 V 上可积，数 J 称为函数 在 V 上的三重积分。 J f x y z ( , , ) f x y z ( , , )

记作 J =[[[ f(x, y,z)dv 或J = [[[ f(x, y,=)dxdydz, 其中V称为积分变量，И称为积分区域Vf(x,y,z）称为被积函数,O当 f(x,y,z)=l时, av的体积在几何上表示二、化三重积分为累次积分5若函数f(x,y,z) 在长方体 V=[a,b]x[c,d]x[e,h]定理21.15上的三重积分，且存在 xe[a,b] ，二重积分(x)= J[ f(x,y,=)dydzT存在,其=[e,d]x[e, 则积分 dax][ F(x,y,=)bydzz 也存在，且D[J f (x, y, z)dxdydz = J, dx JJ f (x, y, =)dydz(1)

记作  = V J f (x, y,z)dV 或  = V J f (x, y,z)dxdydz, 其中 称为被积函数， x, y,z 称为积分变量， 称为积分区域。 V f (x, y,z) 当 f (x, y,z) 1 时，  V dV 在几何上表示 的体积 V 。 二、化三重积分为累次积分 定理21.15 若函数 f (x, y,z) 在长方体 V = a,bc,de,h 上的三重积分，且存在 xa,b ，二重积分 I x f x y z dydz D  ( ) = ( , , ) 存在，其中 D = c,de,h, 则积分 dx f (x y z)dydz b a D   , , 也存在，且 ( , , , , (1) ) ( ) b a V D f x y z dxdydz dx f x y z dydz =   

证明：用平行于坐标面的平面网 T 作分割，它把 V分成有限小长方体 vux =[xi-1,x,]x[y,-1,y,小x[2k-1,z]]

证明：用平行于坐标面的平面网 T 作分割，它把 V 分成有限小长方体  ,   ,   , . ijk i 1 i j 1 j k 1 k v x x y y z z = −  −  −

设Mik,mik分别为f(x,y,z)vik上的上，下确界。对于[x-1,x,]上任一点,,在D;k =[yi-1,y,×[zk-1,z,]上有mykAy,Az, ≤ JJ f(5i, y,z)dlydz ≤ MuAy,AzkDjk现按下标j.k相加，则有E [[ f(5i, y, z)dydz = [[ f(5i, y,z)dydz = I(5)j,k DjkDZ及mjkAx,Ay,Azh≤ EI(E,)Ax, ≤ EMukAx,Ay,Ak: (s)i,j,ki,j,k上述不等式两边是分割 L 的上和与下和, 由于f(x,y,z)V上可积当T→0时，下和与上和有相同的极限，所以由（2）式得

设Mijk ,mijk分别为f (x, y,z)vijk上的上，下确界。   i i i 对于 x −1 , x 上任一点 ,在Dj k = y j−1 , y j zk−1 ,zk 上有 ( ) ijk j k D ijk j k i m y z f y z dydz M y z jk         , , . 现按下标j.k相加，则有  ( ) =  f y z dydz j k D i jk ,  , , ( ) ( )i D i f  y z dydz = I   , , 及   i  j  k  i j k ijk m x y z , , ( ) . , , i j k i j k i ijk i i I  x   M x y z ) 2( 上述不等式两边是分割 T 的上和与下和. 由于 f (x, y,z)V上可积， 当T →0时，下和与上和有相同的极限，所以由（2）式得

1(x)在[a, b]上可积, 且 [' 1(x)=[[ 于(x, y,z)dxdydz现设f(x,y,z)在V上连续,z(x,y),z2(x,y)在D 连续,yi(x),y2 (x)在[a,b]上连续,则有X-V[] f (x, y, z ]dxdydz = [] dxdyx, y,z)dz =Sy2(x)XV(3)dx(x, y,z)dz.xdxdydz例1 计算其中V为由平面x=l,x=2,z=0,y=x与z=y所围的区域x~+yL解 V在xy平面上的投影区域 D=(x,y)|0≤y≤x,1≤x≤2)

I(x) f (x, y,z)dxdydz. V b a  I x( )在a,b上可积，且 = 现设f x y z V ( , , )在 上连续，z x y z x y D 1 2 ( , , , ) ( )在 连续， y x y x a b 1 2 ( ), , ( )在 上连续， 则有 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 , , , , , , z x y z x y V S f x y z dxdydz dxdy f x y z dz = =    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 1 , , , , b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz    （3） 1 , 2 2 dxdydz x y V 例 计算 + 其中V为由平面x=1,x=2,z=0,y=x与z=y所围的区域 解 V xy 在 平面上的投影区域 D x y y x x =     ( , 0 ,1 2 ) 

是x型区域，这里z(x,J)=0,2(x,J)=y.所以由公式（3），有zz = 22 (x,y)Nz = z,(x, y)0ry= y (x)sy= y2 (μ)X

是x z x y z x y y 型区域，这里 1 2 ( , 0, , . ) = = ( ) 所以由公式（3），有 x y z 0 s y y x = 1 ( ) a b y y x = 2 ( ) z z x y = 1 ( , ) z z x y = 2 ( , ) V

dxdydzT'dxl dyl.2x?+y?x?+y?V2-n(r+y)d= In 2dx = n 22例2 求 I=($+#+$)dadd,ab2其中V是椭球体++≤1.OJI &dxdyd +[dxdydz +解 由于 1=[[J dxdydz,V其中dxdyds-,dx J dyd,CR.V

2 2 2 2 2 1 0 0 x y dxdydz dz x y x y V dx dy + + = =     2 2 ( ) 2 2 1 2 2 2 0 1 0 1 ln x ydy x x y dx x y dx + = + =    2 1 1 2 2 1 ln 2 ln 2 dx =  ( ) 2 2 2 2 , y z b c + + dxdydz  2 2 x a V 例2 求 I= 2 2 2 2 2 2 1. x y z a b c 其中V是椭球体 + +  解 由于 2 2 2 2 2 2 , x y z a b c V V V I dxdydz dxdydz dxdydz = + +    2 2 2 2 , x a x x a a a V R dxdydz dx dydz − = 其中  

z这里R,表示与与椭圆面:S+吉2≤1-或z = J62ca0y2≤1.y12=它的面积为x[by/-引[小-引]-元be(1-)J dxdydz=x (1-)dx=πabe.于是V同理可得

x y z 0 1 2 y x = z y = 这里R x 表示与与椭圆面： 2 2 2 2 2 2 1 y z x b c a +  − 或 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1. x x a a y z b c − − +  它的面积为 ( ) 2 2 2 1 1 1 . 2 2 2 x x x a a a   b c bc     − − = −         于是 ( ) 2 2 2 2 2 2 4 15 1 . a x bc x a a a a V dxdydz x dx abc   − = − =   同理可得

ddyd=ab jddyd=rabc.V所以I=3(abc)=abc.三，三重积分换元法下面介绍几个常用的变换公式：1.柱面坐标变换x=rcos0,0≤r≤+0T=^=r sin 0,0≤≤2元,N"N,188

2 2 2 2 4 4 15 15 , . y z b c V V dxdydz abc dxdydz abc = =     ( ) 4 5   abc abc = . 4 所以 15 I=3 三，三重积分换元法 下面介绍几个常用的变换公式： 1.柱面坐标变换      = −   + =   =   + = , . sin ,0 2 , cos ,0 , z z z y r x r r T    

由于变换T的函数行列式0cos 0-rsinQ丢法显承该图片。0=r=sin 0r cos0J =(r,0,z)=001按（4）式，三重积分的柱面坐标变换公式为JJ (x,y,z)dxdydz= J f(rcos,rsin ,z)rdrdedz,(5)V这里V为V在柱面坐标变换下的原象用柱面坐标计算三重积分，通常 是找出 V在平面xy的投影区域D，即当V=(x,y,2)z (x,y)≤z≤22 (x,y),(x,y)e D)时

由于变换 T的函数行列式( ) , 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 , , r r r J r z = − = =      按（ 4）式，三重积分的柱面坐标变换公式为 ( , , ) ( cos , sin , ) ,(5) / f x y z dxdydz f r r z rdrd dz V V      = / 这里V 为V在柱面坐标变换下的原象. 用柱面坐标计算三重积分，通常 是找出 V在平面x y上的投影 即当 V x y z z x y z z x y x y D =    ( , , , , , , ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 时， 区域D