《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第三章 函数极限 第五节 无穷小量和无穷大量

第五节无穷小量和无穷大量

第五节 无穷小量和无穷大量

一、无穷小量1.定义定义：极限为零的变量称为无穷小量定义1如果对于任意给定的正数8（不论它多么小）总存在正数 （或正数 X），使得对于适合不等式0 X) 的一切 x, 对应的函数值f(x)都满足不等式 f(x)l<8,xx，（或x→0)时为无穷小,那末 称函数f(x)当x记作lim f(x)=0(或lim f(x) = 0)x xox

定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数e(不论它多么小), 总存在正数 d( 或正数 X),使得对于适合不等式 X)的一切 x,对应的函数值 f (x)都满足不等式 f ( x) < e, 那末 称函数 f (x)当 0 x x （或 ）时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 f x = f x = x x x 或 极限为零的变量称为无穷小量. → → x →  → 一、无穷小量 1.定义

例如，·lim sinx=0，：函数sin x是当x→0时的无穷小x-→0 lim = = 0,函数-是当x→时的无穷小x-→0 xx(-1)"(-1)" =0, : 数列(是当n→8时的无穷小: limnn-→00n注意1.无穷小是变量，不能与很小的数混淆2.零是可以作为无穷小的唯一的数

例如, limsin 0, 0 = → x x  函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x  . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = - → n n n  } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 -  n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数

2.无穷小与函数极限的关系lim f(x) = A 踢 f(x)= A+ α(x),定理 1 x富xo其中α(x)是当x 畜 x,时的无穷小.证 设 lim f(x)= A,,令 α(x)= f(x)-A,x→xo:. >0,3S>0,使得当0<x-xo<时恒有f(x)-A<8即有 |α(x)<8

证 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) - A, 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = 踼 = +  畗 其中(x)是当x 畗 x0时的无穷小. e e d d -  > < - < f x A x x ( ) 0, 0, 0 0 恒 有 使得当 时 即有 (x) < e 2.无穷小与函数极限的关系:

意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）2.给出了函数f(x)在x,附近的近似表达式证f(x) ~ A,误差为α(x)3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。设α及β是当x→8时的两个无穷小V ε>0,3X, >0,X, >0,使得

意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); ( ) , ( ). 2. ( ) 0 f x A x f x x  误差为 给出了函数 在 附近的近似表达式 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小,  e > 0,X1 > 0,X2 > 0,使得 3.无穷小的运算性质:

88当x>X时恒有α当 x>X,时恒有|β22取 X = max X,,X,子,，当 x>X时,恒有88<"+α±β≤α +β= &,2 2:.α±β→0(x→8)注意天无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小例如,n→时,-是无穷小,n但n个-之和为1不是无穷小.n

x X ; 2 1 e 当 > 时恒有  时恒有  X时,恒有      +  2 2 e + e < = e,    → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , →  , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n

定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小证 设函数u在U(xo,8,)内有界则3M >0,8, >0,使得当00,382 >0,使得当0<x-x<8,时但有aki

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,d1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x   > d > d > < - < d 恒 有 使得当 时

取8=min[81,8,}，则当0<x-x<8时,恒有[u.α = ul αl<M. = 8.M:.当x→x,时,u·α为无穷小推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小1例如,当x → 0时,x sin -,x’ arctan =都是无穷小xX

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 d = d d 则当0 < x - x0 < d时,恒有 u  = u   M M e <  = e, , . 当x → x0时 u  为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小

二、无穷小量阶的比较例如，当x→0时,x,2x,x2,x3 都是无穷小0.1,0.01,0.001,0.0001,x0.2,2x0.02,0.002,0.0002; 20.01,0.0001,0.000001,0.00000001x630.001,0.000001,0.000000001,0.000000000001xx1limx和2x趋于零的速度差不多2x-→0 2x2limx?比2x要快得多= 0,x-0 2x极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同

例如, x x x 2 lim 2 →0 0 , ,2 , , . 当x → 时 x x x 2 x 3 都是无穷小 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 2 ; = 0, x 2 比 x要快得多 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, 0.01, 0.0001, 0.000001, 0.00000001, 0.001, 0.000001, 0.000000001, 0.000000000001, x 2x 2 x 3 x     x x x 2 lim →0 2 1 = x和2x趋于零的速度差不多; 二、无穷小量阶的比较

例如，当x → 0时,x,x’, sin x,x’ sin -都是无穷小xt?x"比3x要快得多；lim= 0,x→0 3xsin xsinx与x大致相同；lim1x-→0x1x?ssin -X= lim sin=不存在.lim不可比x-→0x-→0x极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同

例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在