《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十一章 重积分 第三节 格林公式曲线积分与路线的无关

第三节格林公式.曲线积分与路线的无关性一格林公式aP(1)aJ()do = d, Pdx + QdyaxoyD这里L为区域D的边界曲线并取正方向。公式（1）称为格林公式（I）若区域D既是x形区域又是y形区域，即平行于坐标轴的直

一 格林公式 ( ) L D Q P d Pdx Qdy x y    − = +     (1) 这里L为区域D的边界曲线,并取正方向。 公式（1）称为格林公式 （I）若区域D既是x形区域又是y形区域，即平行于坐标轴的直 第三节 格林公式.曲线积分与路线的无关 性

线和L至多两点，这时区域可表示为LP2(x)Bpy()αP()X0ba图21-10图21-11P(x)≤y≤P,(x),a≤x≤by(y)≤x≤y2(y),α≤x≤β

L 图21-10 a b   o 1 x  ( ) x 2  ( ) x 1  ( ) y 2  ( ) y 图21-11 1 2   ( ) ( ), x y x a x b     线和L至多两点，这时区域可表示为D 1 2     ( ) ( ), y x y x    

这里y=(x)和y=β2(x)分别为曲线ACB和AEB的方程而x =,(y),x =,(y)则分别是曲线CAE和CBE的方程.于是aQdo =rP2(y)BJdydxaxOxαPr(y)D= Q(g,(y), y)dy - T Q(q(y), y)dyJcBr Q(x,y)dy -Jca, Q(x, y)dyCBE

1 2 ( ), ( ) CAE BE . 而x y x y C = =   则分别是曲线 和 的方程 于是 1 2 这里y x y x ACB = =   ( ) ( ) AEB 和 分别为曲线 和 的方程      =   ( ) ( ) 2 1 y y D dx x Q d dy x Q      2 1 ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) ( , ) CBE CAE Q y y dy Q y y dy Q x y dy Q x y dy         = − = −    

= [c, Q(x, y)dy +[ra. Q(x, y)dyCBEEA=,0(x, y)dy同理可以证得aPo do = f, Pdx + QdyayD将上述结果相加即得aPaQJ)do = [, Pdx + QdyOxoyD

  = +   − L D d Pdx Qdy y P  同理可以证得 ( , ) ( , ) ( , ) CBE EAC L Q x y dy Q x y dy Q x y dy = +   =    将上述结果相加即得   = +   −   L D d Pdx Qdy y P x Q ( ) 

(ii)若区域D是又按段光滑的封闭曲线围成，如图21-12所示先几段光滑曲线D将分成有限个既是x型又是y型的子区域D、D、D, , 于是aap小)doayaxDapapaqaQ小)do)do +.axoyOxdyDiD2apaQ()doaxay

(ii)若区域D是又按段光滑的封闭曲线围成，如图21-12所示。 先几段光滑曲线D将分成有限个既是x型又是y型的子区域 D D D 1 2 3 、 、 ，于是 d y P x Q D ( )   −       d y P x Q d y P x Q d y P x Q D D D ( ) ( ) ( ) 3 1 2   −   +   −   +   −   =   

Pdx + Qdy + d, Pdx + Qdy + $, Pdx + Qdy7= f, Pdx + Qdy(ii)若区域D是由几条闭曲线所围成，如图21-13所示，这时可适当添加直线段AB,L2,BA,CE,L3,EC及CGA构成，由(i)知apQQdOOxOyDJ+J+JtJ+J+JtJc4十BA:AECJCEJ

   = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy  = + L Pdx Qdy 及 构成，由 知 所示，这时可适当添加直线段 若区域 是由几条闭曲线所围成，如图 ( ) , , , , , ( ) 21 13 2 3 CGA ii AB L BA C E L EC iii D −            = + + + + + + +   −   A B L B A AFC CE L E C CGA D d y P x Q 2 3 ( ) 

(f +f. +f(Pdx+Qdy)- f, Pdx + Qdy格林公式沟通了沿闭曲线的积分二重积分之间的联系。为便于记忆，格林公式（1）也可写成下述形式aaay do = f, Pdx + Qdy二ax0PQ格林公式可以简化为某些曲线积分

（ ）     = + = + + + L L L L Pdx Qdy Pdx Qdy 2 3 1 ( ) 格林公式沟通了沿闭曲线的积分二重积分之间的联系。为便于 记忆，格林公式（1）也可写成下述形式: 格林公式可以简化为某些曲线积分    = +    L D d Pdx Qdy P Q x y 

L,ECD2LD3FGDLD,LBA-2图21-12图21-13tYAD图21-140.XB

D1 D2 D3 L3 L1 L2 图21-12 A E C D G F B L1 L2 L3 图21-13 X Y O D B A 图21-14

例1计算[，xdy,其中曲线AB是半径为r的圆JAB在第一象限部分(图21-14)解对半径为r的四分之一圆域D，应用格林公是有-[[ do =f, xdyD- Jo xdy+ Janxdy++ xdyJOAJBOAB由于[,xdy=0, [β。xdy= 0,所以87OA12[arxdy=-{[ do =-= -—元rLAB4D

1 , r ( 21-14 AB xdy AB 例 计算 其中曲线 是半径为 的圆 在第一象限部分 图 ） 解 对半径为r的四分之一圆域D，应用格林公是有 由于 所以 2 4 1 0, 0, xdy d r xdy xdy xdy xdy xdy d xdy D A B O A B O O A A B B O L D    = − = − = = = + + − =         −

xdy- ydx其中L为任一不例2 计算I=一JLx"+y包含原点的闭区域的边界线0y?-x?x因为解(x? + y°)Ox x + yy?-x?a-yO(x? + y")?dy x"+y在上述区域D上连续且相等，于是aJie(x-y)]do + 0,dy xOx x'+yD所以由格林公式立即可得1 =0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 I , L x y y x x y x x x y xdy ydx L + − =  +  + − =  解 因为 ） 包含原点的闭区域的边界线 例 计算 其中 为任一不 0 [ ( ) ( )] 0, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + −   −  +  + − = + −    I d x y y x y y x x D x y y x x y y y D 所以由格林公式立即可得 在上述区域 上连续且相等，于是 