《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第五章 导数与微分 §2 求导法则

$2求导法则教学内容：1.给出了函数的和、差、积、商的求导法则2.给出了反函数的求导法则.并得到了指数函数反三角函数的求导公式3.给出了复合函数的求导法则，并得到了幂函数的求导公式教学重点：熟练掌握复合函数的求导法则要求：1.掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则2.能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算初等函数的导数

教学内容： 1. 给出了函数的和、差、积、商的求导法则. 2. 给出了反函数的求导法则,并得到了指数函数,反三角函数 的求导公式. 3. 给出了复合函数的求导法则, 并得到了幂函数的求导公式. 教学重点: 熟练掌握复合函数的求导法则. 要求: 1. 掌握求导法则,尤其是复合函数的求导法则. 2. 能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算 初等函数的导数. §2 求导法则

一导数的四则运算和复合函数的链式法则已知u=u(x), v=v(x)为可导函数, 则有1. (u +v)'= u' +v';2.(uv)'= u'v+uv',(cu)'= cu'(c为常数)uu'v-uv) =.23.-?,2dydy du4.(y= f(u), u= p(x)为可导函数)dudxdx

一 导数的四则运算和复合函数的链式法则 4. , ( ( ), ( ) ) . 2 1 1 , 2 3. 2. ( ) , ( ) ( ); 1. ( ) ; 为可导函数 为常数 y f u u x dx du du dy dx dy v v v u v uv v u uv u v uv cu cu c u v u v =  = =  = −        −   =         =  +   =  +  =  +  已知u = u(x), v = v(x)为可导函数, 则有

问题的提出：从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数但通常比较繁有没有更为简单、方便有效的方法求函数特别是初等函数的导数？初等函数导数的计算方法1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导：2.利用反函数求导法则求导3.对数求导法：4.利用导数的定义求导：

问题的提出: 从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数, 但通常比较繁琐,有没有更为简单、方便有效的方法求 函数特别是初等函数的导数? 初等函数导数的计算方法: 1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导； 2.利用反函数求导法则求导； 3.对数求导法； 4.利用导数的定义求导；

例设f(x)= Vx2 +1,求f(0), f(1)1解?由于x2f'(x)=Vx-+222Vx~ +1Vx~ +11因此 f(0) = 0, f'(1)V2例文求下列函数的导函数：2. 1(1) f(x)= ln(x+ V/1+x-); = tanX-T(2)x12解 (1)[In(x+ V1+x°)1x+1+x2x+VI+x11x1+n?2x+ V+xVI+x

例 1, (0), (1). 2 设f (x) = x + 求 f  f  解 由于 , 1 2 1) 2 ( 1 2 2 1 1 2 ( ) + +  = + =         = + x x x x f x x . 2 1 因此 f (0) = 0, f (1) = 例 求下列函数的导函数: . 2 1 ); (2) ( ) tan 2 (1) ( ) ln( 1 x f x = x + + x f x = 解 . 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ) 2 (1) ln( 1 x x x x x x x x x x x + =         + + + + =        + + + + =        + +

二反函数的导数基本求导法则dy_1dxdxdy例 (1)(a")=a na(其中a>0,αI),特别地(e)=ex11(2) (arcsin x)':(arccos x)' =V1-x2x1(3)(arctan x)(arccot x)' :2221 +x1+ x

二 反函数的导数 基本求导法则: . 1 dy dx dx dy = 例 (1) ( ) ln ( 0, 1), ( ) . x e x a a a e x a x a  = 其中   特别地  = . 2 1 1 ; (arccos ) 2 1 1 (2) (arcsin ) x x x x −  = − −  = . 2 1 1 ; ( cot ) 2 1 1 (3) (arctan ) x arc x x x +  = − +  =

证(） 由于y=α',xe R为对数函数x=logaj,ye(O, +)的反函数,故1y_=axnaax(logay)'logae(2)(3)的证明略去三对数求导法对数求导法的步骤：1.两端取绝对值之后，再取自然对数2.等式两端分别对自变量求导3.等式两端再乘以y,左端即y(x)

证 ln . (log ) log 1 ( ) (0, ) , (1) , log , a x a a e y a y x a y x R x a y x y a = =   =  +  =  = 的反函数 故 由于 为对数函数 (2) (3)的证明略去. 三 对数求导法 对数求导法的步骤: 1. 两端取绝对值之后, 再取自然对数. 2. 等式两端分别对自变量求导. 3.等式两端再乘以y, 左端即y (x)

1例 设y=(+5)(-4)(x>4), 求y(x + 2)5 (x + 4)2解先对函数取对数,得In y=In (x+5)2(x-4)31(x+ 2)5(x + 4)2= 2 n(x+5)+|n(×-4)- 5ih(x+ 2)In( x + 4-1再对上式两边分别求对数,得1_251y x+5 3(x-4) x+2 2(x+4)1y'= (x+5)(x-4)3 25113(x- 4) x+2 2(x+4)x+5(x + 2)5(x+4)2

例 ( 4), . ( 4) 5 ( 2) ( 4) 2 ( 5) 2 1 3 1 x y x x x x y   + + + − 设 = 求 解 先对函数取对数, 得 ln( 4). 2 1 ln( 4) 5ln( 2) 3 1 2ln( 5) ( 4) 5 ( 2) ( 4) 2 ( 5) ln ln 2 1 3 1 = + + − − + − + + + + − = x x x x x x x x y 再对上式两边分别求对数, 得 . 2( 4) 1 2 5 3( 4) 1 5 2 + − + − − + + =  y x x x x y . 2( 4) 1 2 5 3( 4) 1 5 2 ( 4) 5 ( 2) ( 4) 2 ( 5) 2 1 3 1         + − + − − + + + + + −  = x x x x x x x x y

补充：分段函数的导数例设2a*+1-2x≤0aaf(x)=3(a>0,a±l),sin xx>0x求 f'(x).f(x)==lna-ax解当 x0,x2

补充: 分段函数的导数 例 设             + −  = ( 0, 1), , 0 sin , 0 2 1 2 ( ) a a x x x x a x a a f x 求 f (x). 解 当 2 cos sin 0, ( ) ln 2 0, ( ) x x x x x f x x a a a x f x −   =   =  当

22x+1-1af(x)-f(0)aaf' (0) = limlimx-0xx→0x-→02(a2a= lim二naaxx→0sin x-1f(x)- f(0)xf(0) = limlimxxx→0+x→0+cosx-1sin x - x lim= lim=0?2xx→0+x→0+-(0) + f+(0)2=na·αx0..2x-

x a x a a x x f x f x f 1 2 1 2 0 lim 0 ( ) (0) 0 _ (0) lim + − − → = − − →  = − − a x a x a a x ln 2 ( 1) 2 0 lim = − → = − x x x x x f x f x f 1 sin 0 lim ( ) (0) 0 (0) lim − → = − → +  = + + 0 2 cos 1 0 lim 2 sin 0 lim = − → = − → = + + x x x x x x x f −  (0)  f +  (0)          −     = , 0. 2 cos sin ln , 0, 2 (0) ( ) x x x x x x x a a a 故 f 不存在，因此 f x