《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 数列极限 第三节 数列极限存在的条件

第三节数列极限存在的条件数列极限的两大问题数列极限的存在性（此问题为最关键的问题，是前提；）数列极限值的大小：（存在性成立后：才想办法计算限：）

第三节 数列极限存在的条件 数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题，是前提；） 数列极限值的大小； （存在性成立后；才想办法计算限；） 数列极限的两大问题

几个简单的单调数列：1a, = =,n = 1,2,... → lim a, = 0;n→0n1= --,n = 1,2,..= lim an = 0;a=n-→00nan = q",(0o0如果数列x满足条件Xi ≤X2...≤xn ≤xn+1 ≤...,单调增加单调数列X, ≥x, .. ≥xn ≥xn+i ≥..",单调减少

几个简单的单调数列： , 1,2,. lim 0; 1 = =  = → n n n n a n a = ,(0   1), = 1,2,. lim = 0; → n n n an q q n a , 1,2,. lim 0; 1 = − =  = → n n n n a n a 如果数列x n满足条件 , x1  x2  xn  xn+1   单调增加 , x1  x2  xn  xn+1   单调减少 单调数列

定理2.9：单调有界准则单调有界数列必有极限通常该准则变通为：1）单调递增有上界的数列存在极限。2）单调递减有下界的数列存在极限几何解释：MxXi X2 Xs XnXn+1 A证：仅证1）

单调有界数列必有极限. 几何解释: x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 A M 通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 证：仅证1） 定理2.9：单调有界准则

几点说明：通常该准则变通为：1）单调递增有上界的数列存在极限2）单调递减有下界的数列存在极限，本定理只是证明了存在性·本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。此定理的条件为充分非必要条件。如：=,n=1,2an =(-1)nnn

几点说明： • 通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 • 本定理只是证明了存在性。 • 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 • 此定理的条件为充分非必要条件。 , 1,2,. 1 = (−1) n = n a n n 如：

几种证明极限存在的方法按照数列极限的定义证明。按照奇、偶子列的收敛性证明依据任意子列的收敛性证明利用夹逼准则证明利用单调有界准则证明利用Cauchy收敛准则证明最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性

几种证明极限存在的方法： 按照数列极限的定义证明。 按照奇、偶子列的收敛性证明。 依据任意子列的收敛性证明。 利用夹逼准则证明。 利用单调有界准则证明。 利用Cauchy收敛准则证明。 最简单的思想是利用数列本身的性质 证明数列极限的存在性

111例1 设a.32αVe(an收敛。其中α≥2, 证明证明：{an}递增显然，下面证明有上界，事实上:111++a222 32n111--(n-1)·n1.22·3= 2 - -<2,n = 1,..n

例1 , 1,2,. 1 . 3 1 2 1 = 1+ + + + n = n an      2 { }n a { }n a 2 2 2 1 . 3 1 2 1 1 n an  + + + + 2, 1,2,. 1 = 2 −  n = n n −  n + +  +   + ( 1) 1 . 2 3 1 1 2 1 1 设 其中 ，证明 收敛。 证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上：

1月 lim(1+-)"存在。例2 证明n-→8n证明：n+11-()()... +Ck1=1-an+1 =n+1n+12n+1,1-++-()()1+=an =n)1:Cn(n - 1)...(n - k + 1)1 k!n-4))DAL

例 2 证明 存在 。 n n n ) 1 lim ( 1 + →  证明： 1 1 1 1 1 1 . 1 1 . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 + + + +   +  + +   + + + +  = + +    + = + k n kn n n n n C n n n a k n kn n n n n C n n n a    + +    = +  + +   = + 1 . 1 . 1 1 1 1   −  −   −   = −   − − +   =   nk k n n k n n n n k n C k k kn 1 . 1 2 1 1 1 !1 1 ! 1 ( 1).( 1)

1￥1a, =1+1+-一1-=+.+2! (n,k-1+k! (nn)烤)An.n+1a项，每一项为正数的展开式中共有n

      −  −       −      −  +      −  −       −      −  + +      = + + − n n n n n n k k n n n an 1 . 1 2 1 1 1 ! 1 1 . 1 2 1 1 1 ! 1 . 1 1 2! 1 1 1 an 的展开式中共有 n+1 项，每一项为正数

1 (11-.an1 =1+1+ E+...+--2. (n+1)k-11 (+-?n+1（2（4)1+n+1,n+1)n!(In+1八1 aa)1--Rn+1宵n+2an的展开式中共有项，每一项为正数n+1

      +  −      +  −      + − +  +      + −  −      +  −      + −  +      + −  −      +  −      + −  + +      + + = + + − 1 . 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)! 1 1 1 . 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 1 1 . 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 . 1 1 1 2! 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n k k n n n an an+1 的展开式中共有n+ 2 项，每一项为正数

不难发现有：k-1 n+1即 a，的第 k 项小于 an+1 的第k项,此外还多了一个正数项，故 ‘n+1 比 an严格增加In+1, n = 1,2...a<an下面证明有上界：

不难发现有：       + −  −      +  −      +   −      −  −       −      − 1 1 . 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 1 . 1 2 1 1 1 ! 1 n k n k n n k k n n 即 的第 项小于 的第 项， 此外 比 还多了一个正数项，故 n a n a an+1 an+1 k k , 1,2,. an  an+1 n = 严格增加 下面证明有上界：