《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第九章 定积分 §2 牛顿—莱布尼兹公式

S2牛顿一莱布尼兹公式若用定积分定义求「f(x)dx，一般来说是比较困难的。是否有较简便的方法求『f(x)dx？下面介绍的牛顿一莱布尼兹公式不仅a为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来定理9.1 若函数 f 在[a,b]上连续，且存在原函数 F(x),即 F'(x)= f(x)x E[a,b],则 f 在[a,b]上可积，且:[ f(x)dx = F(b) - F(a),a称为牛顿-莱布尼茨公式，它常写成:f(x)dx = F(x)=F(b)-F(a)证1

1 §2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求  b a f (x)dx ，一般来说是比较困难的。是否有 较简便的方法求  b a f (x)dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。 证 称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： 则 在 上可积，且： 定理 若函数 在 上连续，且存在原函数 即 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). [ , ], [ , ] 9.1 [ , ] ( ), ( ) ( ), f x dx F x F b F a f x dx F b F a x a b f a b f a b F x F x f x b a b a b a − = = − = −   =  

公式使用说明1、在应用公式求/f(x)dx时，f(x)的原函数必须是初等函数，否则使用a公式求[f(x)dx失效。即f(x)的原函数F(x)可由[f(x)dx求出a2、定理的条件还可适当减弱，如：1)、对F的要求可减弱为：在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且:F'(x)= f(x). 不影响定理的证明。2）、对f的要求可减弱为：在[α,b]上可积（不一定连续），这时公式仍成立。3)、若定理中的F与f 同时减弱为：f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F'(x)= f(x),则公式仍成立。4），在学习连续函数必存在原函数的定理后，定理中对F的假设便是多余的条件。2

2 公式使用说明： 便是多余的条件。 ）、在学习连续函数必存在原函数的定理后，定理中对 的假设 续，且除有限个点外有 则公式仍成立。 ）、若定理中的 与 同时减弱为：在 上可积， 在 上连 公式仍成立。 ）、对 的要求可减弱为：在 上可积（不一定连续），这时 不影响定理的证明。 ）、对 的要求可减弱为：在 上连续，在（ ）内可导，且： 、 定理的条件还可适当减弱，如： 公式求 失效。即 的原函数 可由 求出。 、在应用公式求 时， 的原函数必须是初等函数，否则使用 F F x f x F f f a b F a b f a b F x f x F a b a b f x dx f x F x f x dx f x dx f x b a b a 4 ( ) ( ), 3 [ , ] [ , ] 2 [ , ] ( ) ( ). 1 [ , ] , 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )  =  =   

例1、利用牛顿一莱布尼茨公式求下列定积分1)、[x"dx(n e N+),2)、[e*dx, 3)(000n+ln+22n解3

3 xdx x x dx dx a b x x dx n N e dx b a b a x b a n      −  +   2 0 2 0 2 4) sin , 5) 4 0 ). 1 1 ( ), 2) , 3) 1 、 、 ）、 、 、 （ 例 、 利用牛顿 — 莱布尼茨公式求下列定积分  利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列 通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分 割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。 解 例 、用定积分的定义求极限       + + + + n→ n + n 2n 1 2 1 1 1 lim 2 