《养分资源管理》课程授课教案（讲义）第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 第一节养分资源管理的基本原理 一、养分归还学说 (一)定义： 李比希将其归还学说归结为：由于人类在土地上种植植物并这些产物拿走，这就必然 会使地力逐渐下降，从而土壤所含的养分将会愈来愈少。因此，要想恢复地力就必须归还 从土壤中拿走的全部东西，不然就难以指望再获得过去那样高的产量，为了增加产量就应 该向土壤施加灰分。 (二)要点： 1、随着作物的每次收获（包括籽粒和茎杆）必然要从土壤中取走大量养分 2、如果不正确地归还养分于士壤，地力必然会逐渐下降 3、要想恢复地力就必须归还从土壤中取走的全部东西 4、为了增加产量就应该向士壤施加灰分元素 (三)实质： 为了增产必须以施肥方式补充植物从土壤中取走的养分，这就突破了过去局限于生物 循环的范畴，通过施加肥料，扩大了这种物质循环，从而为作物稳产高产和均衡增产开辟 了广阔前景。 (四)局限： 1、对养分消耗的估计只局限于磷、钾上 2、反对豆种植物能丰富土壤氮素的说法 3、归还是正确的，但绝对的全部归还是不必要的，不经济的 归还学说解决了施肥的必要性问题 二、最小养分律

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 5 第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 第一节 养分资源管理的基本原理 一、养分归还学说 （一）定义： 李比希将其归还学说归结为：由于人类在土地上种植植物并这些产物拿走，这就必然 会使地力逐渐下降，从而土壤所含的养分将会愈来愈少。因此，要想恢复地力就必须归还 从土壤中拿走的全部东西，不然就难以指望再获得过去那样高的产量，为了增加产量就应 该向土壤施加灰分。 （二）要点： 1、随着作物的每次收获（包括籽粒和茎杆）必然要从土壤中取走大量养分 2、如果不正确地归还养分于土壤，地力必然会逐渐下降 3、要想恢复地力就必须归还从土壤中取走的全部东西 4、为了增加产量就应该向土壤施加灰分元素 （三）实质： 为了增产必须以施肥方式补充植物从土壤中取走的养分，这就突破了过去局限于生物 循环的范畴，通过施加肥料，扩大了这种物质循环，从而为作物稳产高产和均衡增产开辟 了广阔前景。 （四）局限： 1、对养分消耗的估计只局限于磷、钾上 2、反对豆种植物能丰富土壤氮素的说法 3、归还是正确的，但绝对的全部归还是不必要的，不经济的 归还学说解决了施肥的必要性问题 二、最小养分律

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 （一)定义： 最小养分律亦由李比希提出。其表述为：植物为了生长发育需要吸收各种养分，但是 决定植物产量的，却是土壤中那个相对含量最小的有效植物生长因素，产量也在一定限度 内随着这个因素的增减而相对地变化，因而无视这个限制因素的存在，即使继续增加其他 营养成分也难以再提高植物的产量。 (二)要点： 1、决定作物产量的是土壤中某种对作物需要来说相对含量最小而非绝对含量最少的 养分。 2、最小养分不是固定不变的，而是随条件变化而变化的。 3、继续增加最小养分以外的其它养分，不但难以提高产量而且还会降低施肥的经济 效益。 (三)意义： 正确对待最小养分律，就可以因地制宜根据土壤条件和植物生长的需要来选择肥料品 种和养分比例，提高施肥针对性，较好地满足作物对养分的需要，从而收到增产、节月己 提高经济效益的效果。 限制因子律： 增加一个因子的供应，可以便作物生长增加，但是遇到另一生长因子不足时，即使增 加前一因子也不能使作物生长增加，直到缺少的因子得到补足，作物才能继续生长。 限制因子律是最小养分律的扩大和引伸。 最适因子律： 植物生长受许多条件的影响，生长条件变化的范围很广，植物适应的能力有限。只有 影响生产的因子处于中间地位。最适于植物生长，产量才能达到最高。因子处于最高或最 低的时候，不适于植物生长，产量可能等于零。 三、报酬递减律与米采利希学说

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 6 （一）定义： 最小养分律亦由李比希提出。其表述为：植物为了生长发育需要吸收各种养分，但是 决定植物产量的，却是土壤中那个相对含量最小的有效植物生长因素，产量也在一定限度 内随着这个因素的增减而相对地变化，因而无视这个限制因素的存在，即使继续增加其他 营养成分也难以再提高植物的产量。 （二）要点： 1、决定作物产量的是土壤中某种对作物需要来说相对含量最小而非绝对含量最少的 养分。 2、最小养分不是固定不变的，而是随条件变化而变化的。 3、继续增加最小养分以外的其它养分，不但难以提高产量而且还会降低施肥的经济 效益。 （三）意义： 正确对待最小养分律，就可以因地制宜根据土壤条件和植物生长的需要来选择肥料品 种和养分比例，提高施肥针对性，较好地满足作物对养分的需要，从而收到增产、节月已 提高经济效益的效果。 限制因子律： 增加一个因子的供应，可以便作物生长增加，但是遇到另一生长因子不足时，即使增 加前一因子也不能使作物生长增加，直到缺少的因子得到补足，作物才能继续生长。 限制因子律是最小养分律的扩大和引伸。 最适因子律： 植物生长受许多条件的影响，生长条件变化的范围很广，植物适应的能力有限。只有 影响生产的因子处于中间地位。最适于植物生长，产量才能达到最高。因子处于最高或最 低的时候，不适于植物生长，产量可能等于零。 三、报酬递减律与米采利希学说

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 报酬递减律是在18世纪后期，由欧洲经济学家A.R.J.Turgot和J.Anderson同 时提出的。其内容表述：从一定土地上所得到的报酬随着向该土地投入的劳动和资本量的 增大而有所增加，但随着投入的单位劳动和资本的增加，报酬的增加却在减少。 这个定律反映了在技术条件不变的情况下投入与产出的关系，所以它作为经济学上的 一个基本原则，广泛应用于工业、农业以及畜牧业等各个领域。 20世纪初，米采利希(E.A.Mitscherlich))进行了著名的燕麦磷肥砂培试验。他发 现：①在其它技术条件相对稳定前提下，随着施肥量的渐次增加，作物产量也随之增加， 但作物的增产量却随施肥量的增加而呈递减趋势，因而与报酬递减律相吻合。 ②如果一切条件都符合理想的话，作物将会产生出某种最高产量，相反，只要任何某 种主要因素缺乏时，产量便会相应地减少。 米采利希学说的文字表达是，只增加某种养分单位量(x)时，引起产量增加的数量 (dy),是以该种养分供应充足时达到的最高产量(A)与现在的产量(y)之差成正比。 以公式表达为dy/dx=C(A-y) 转换为指数式为y=A(1-e“) 式中y一一定量肥料调所得的产量 A-足量肥料所获得的最高产量或极限产量 x一肥料用量e一自然常数c常数（效应系数） 因此，米采利希公式最重要之处在于：某种养分的效果，以在土壤中该种养分愈为不 足时效果愈大，若逐渐增加该养分的施用量，增产效果就将逐渐减少。 米采利希的试验及其他试验证明，报酬递减律在农业化学上施肥量和产量之间关系方 面也是成立的，也是指导施肥的基本原理之一。 米采利希学说使肥料的施用由经验性进入定量化境界，在农业生产上起过重要作用， 使有限量的肥料发挥了最大的增产效益，目前在国际上仍作为一个重要的施肥理论加以运 用。 报酬递减律和米采利希学说自问世到现在一直存在争论。关键的问题在于报酬递减律 和米采利希学说存在的前提是其它技术条件不变（相对稳定）。 从历史发展的总进程来看，技术条件总是会不断改善的，生产水平也是会不新提高的。 但在一个时间短暂的轮作周期内或时间较长的生长阶段内，一般来说，生产技术条件不会 >

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 7 报酬递减律是在 18 世纪后期，由欧洲经济学家 A．R．J．Turgot 和 J．Anderson 同 时提出的。其内容表述：从一定土地上所得到的报酬随着向该土地投入的劳动和资本量的 增大而有所增加，但随着投入的单位劳动和资本的增加，报酬的增加却在减少。 这个定律反映了在技术条件不变的情况下投入与产出的关系，所以它作为经济学上的 一个基本原则，广泛应用于工业、农业以及畜牧业等各个领域。 20 世纪初，米采利希（E．A．Mitscherlich)进行了著名的燕麦磷肥砂培试验。他发 现：①在其它技术条件相对稳定前提下，随着施肥量的渐次增加，作物产量也随之增加， 但作物的增产量却随施肥量的增加而呈递减趋势，因而与报酬递减律相吻合。 ②如果一切条件都符合理想的话，作物将会产生出某种最高产量，相反，只要任何某 种主要因素缺乏时，产量便会相应地减少。 米采利希学说的文字表达是，只增加某种养分单位量（dx）时，引起产量增加的数量 （dy），是以该种养分供应充足时达到的最高产量（A）与现在的产量（y）之差成正比。 以公式表达为 dy/dx=C(A-y) 转换为指数式为 y=A(1- e -cx） 式中 y 一一定量肥料调所得的产量 A-足量肥料所获得的最高产量或极限产量 x 一肥料用量 e 一自然常数 c 常数（效应系数） 因此，米采利希公式最重要之处在于：某种养分的效果，以在土壤中该种养分愈为不 足时效果愈大，若逐渐增加该养分的施用量，增产效果就将逐渐减少。 米采利希的试验及其他试验证明，报酬递减律在农业化学上施肥量和产量之间关系方 面也是成立的，也是指导施肥的基本原理之一。 米采利希学说使肥料的施用由经验性进入定量化境界，在农业生产上起过重要作用， 使有限量的肥料发挥了最大的增产效益，目前在国际上仍作为一个重要的施肥理论加以运 用。 报酬递减律和米采利希学说自问世到现在一直存在争论。关键的问题在于报酬递减律 和米采利希学说存在的前提是其它技术条件不变（相对稳定）。 从历史发展的总进程来看，技术条件总是会不断改善的，生产水平也是会不断提高的。 但在一个时间短暂的轮作周期内或时间较长的生长阶段内，一般来说，生产技术条件不会

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 普遍发生重大的变化或突破，总是保持相对稳定的状态，这就在客观上为报酬递减提供了 可能。 对米采利希公式提出批评的另一种意见是乌尔尼教授指出的当限制因子超过最适数 量时就会变成毒害因素，不仅不能使作物增产，还会使作物减产。这是完全正确的，己被 国内许多田间试验所证实，Pfeiffer(费佛尔)教授提出了反映施肥量与产量之间关系 的抛物线模式，其一元二次方程式为y=b。十bx十b,x2。 总结：报酬递减律在施肥实践中是客观存在的，应正确对待，一方面要正视它，承认 它的存在，避免施肥的盲目性，提高施肥的经济效益，通过合理施肥达到增产增收的目的。 另一方面，不能消极对待它，片面地以减少化肥用量来降低生产成本，相反，应研究新措 施，促进生产条件的改变，在逐步提高施肥水平前提下，力争提高肥料的经济效益，促进 农业生产的持续发展。 四、因子综合作用律 因子综合作用律的内容是：作物丰产是影响作物生长发有的各种因子如水分、养分、 光照、温度、空气、品种以及耕作条件等综合作用的结果，其中必然有一个起主导作用的 限制因子，产量也在一定程度上受该种限制因子的制约。因此，为了充分发挥施肥的增产 作用和提高肥料的经济效益，一方面，施肥措施必须与其它农业技术措施密切配合，另 方面，各种肥料养分之间的配合施用，也应该因地制宜地加以综合运用。 (一)、水分与施肥效果 水分与肥料的影响是相互的，一方面，适宜的土壤水分可以提高所施肥料养分的有效 性，亦可促进植物生长以吸收更多的养分，另一方面，某些肥料可促进根系生长吸水，并 提高植物的水分利用效率。 表现在产量上，施肥与灌溉配合的增产作用大于灌溉和施肥单一措施增产效果的总 和。 (二)、作物品种与施肥效果 一般耐肥的品种可与肥料发生交互作用，提高肥料的增产效果

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 8 普遍发生重大的变化或突破，总是保持相对稳定的状态，这就在客观上为报酬递减提供了 可能。 对米采利希公式提出批评的另一种意见是乌尔尼教授指出的当限制因子超过最适数 量时就会变成毒害因素，不仅不能使作物增产，还会使作物减产。这是完全正确的，己被 国内许多田间试验所证实， Pfeiffer（费佛尔）教授提出了反映施肥量与产量之间关系 的抛物线模式，其一元二次方程式为 y=b0＋b1x＋b2x 2。 总结：报酬递减律在施肥实践中是客观存在的，应正确对待，一方面要正视它，承认 它的存在，避免施肥的盲目性，提高施肥的经济效益，通过合理施肥达到增产增收的目的。 另一方面，不能消极对待它，片面地以减少化肥用量来降低生产成本，相反，应研究新措 施，促进生产条件的改变，在逐步提高施肥水平前提下，力争提高肥料的经济效益，促进 农业生产的持续发展。 四、因子综合作用律 因子综合作用律的内容是：作物丰产是影响作物生长发育的各种因子如水分、养分、 光照、温度、空气、品种以及耕作条件等综合作用的结果，其中必然有一个起主导作用的 限制因子，产量也在一定程度上受该种限制因子的制约。因此，为了充分发挥施肥的增产 作用和提高肥料的经济效益，一方面，施肥措施必须与其它农业技术措施密切配合，另一 方面，各种肥料养分之间的配合施用，也应该因地制宜地加以综合运用。 （一）、水分与施肥效果 水分与肥料的影响是相互的，一方面，适宜的土壤水分可以提高所施肥料养分的有效 性，亦可促进植物生长以吸收更多的养分，另一方面，某些肥料可促进根系生长吸水，并 提高植物的水分利用效率。 表现在产量上，施肥与灌溉配合的增产作用大于灌溉和施肥单一措施增产效果的总 和。 （二）、作物品种与施肥效果 一般耐肥的品种可与肥料发生交互作用，提高肥料的增产效果

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的恭本原理与基本方法 （三)、养分之间的相互作用效应 养分之间的相互作用效应可以分为三种情况 1、正的相互作用效应 (A十B)>(A)+(B) 2、没有相互作用效应 (A十B)=(A)+(B) 3、负的相互作用效应(A十B)<(A)+(B) (A十B):两种养分同时施用的增产效果 (A)、(⑧)：A、B养分单独施用时的增产效果 不仅是大量元素之间，大量元素与微量元素，微量元素之间，在生产上应利用养分之 间的相互作用，在不增加施肥量的前提下，提高肥料利用率和获取肥料最大经济效益

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 9 （三）、养分之间的相互作用效应 养分之间的相互作用效应可以分为三种情况 1、正的相互作用效应 （A 十 B ）>(A)+(B) 2、没有相互作用效应 （A 十 B ）=(A)+(B) 3、负的相互作用效应 （A 十 B ）<(A)+(B) （A＋B）：两种养分同时施用的增产效果 （A)、(B)：A、B 养分单独施用时的增产效果 不仅是大量元素之间，大量元素与微量元素，微量元素之间，在生产上应利用养分之 间的相互作用，在不增加施肥量的前提下，提高肥料利用率和获取肥料最大经济效益

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 第二节养分资源管理的基本方法 一、肥料效应函数在养分资源管理中的应用 (一)肥料效应函数的概念与作用 肥料效应：作物产量对施肥的反应。 肥料效应函数：也叫肥料效应方程、施肥模型，指表达作物产量对施肥反应的数学函数式 肥料效应函数的作用：可以判断肥料养分效应的大小和特征，进行肥料新品种的评价：可 以确定最佳施肥量、最大施肥量等。 肥料效应函数的代数形式及其系数值取决于土壤、作物、肥料种类及栽培技术条件等多种 因素。 (二)肥料效应函数的类型与特征 肥料效应方程式从数学形式上分为直线、指数、多项式、相交直线方程式等，从自变量数 上分为一元、多元等。 1、一元肥料效应回归方程式 一元肥料效应方程式有： (1、直线方程式 y=bo+bix y:产量，bo:施肥前产量水平，b,系数 ·特征：固定报酬，因而该式不能反映当施肥量递增时表现出的肥效递减现象以及过 量施肥，特别是过量施用氮肥时的总产量下降现象。 ·存在条件：在较低生产水平、较低肥力、施用低量肥料时，可能符合直线方程。 (2)、指数（或对数）方程式 i米采利希方程式 由米氏于1909年提出：指数式为：y=A(1-10“) 对数式为：1g(A-y)=lgA-cx A为增施某一养分可以达到的最高产量，y为养分供应量为x时的实际产量。C为效应 系数C值愈大，达到一定产量需要的施肥量愈少，肥料的增产效应愈高。 10

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 10 第二节 养分资源管理的基本方法 一、 肥料效应函数在养分资源管理中的应用 （一）肥料效应函数的概念与作用 肥料效应：作物产量对施肥的反应。 肥料效应函数：也叫肥料效应方程、施肥模型，指表达作物产量对施肥反应的数学函数式。 肥料效应函数的作用：可以判断肥料养分效应的大小和特征，进行肥料新品种的评价；可 以确定最佳施肥量、最大施肥量等。 肥料效应函数的代数形式及其系数值取决于土壤、作物、肥料种类及栽培技术条件等多种 因素。 （二）肥料效应函数的类型与特征 肥料效应方程式从数学形式上分为直线、指数、多项式、相交直线方程式等，从自变量数 上分为一元、多元等。 1、一元肥料效应回归方程式 一元肥料效应方程式有： （1）、直线方程式 y=b0+b1x y：产量，b0：施肥前产量水平，b1 系数 ·特征：固定报酬，因而该式不能反映当施肥量递增时表现出的肥效递减现象以及过 量施肥，特别是过量施用氮肥时的总产量下降现象。 ·存在条件：在较低生产水平、较低肥力、施用低量肥料时，可能符合直线方程。 （2）、指数(或对数)方程式 i 米采利希方程式 由米氏于 1909 年提出：指数式为： y=A(1-10-cx) 对数式为： lg(A-y)=lgA-cx A 为增施某一养分可以达到的最高产量，y 为养分供应量为 x 时的实际产量。C 为效应 系数 C 值愈大，达到一定产量需要的施肥量愈少，肥料的增产效应愈高

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 ii典型的指数方程式 米氏方程中X为养分供应量，包括了土壤养分，不能直观表达施肥量的影响，为此， 克劳斯等提出了修正式，并称之为典型的指数方程式。 y=yo+d(1-10) y为不施肥产量d最大增产量k效应系数 iii斯皮尔曼(Spillman)方程式 y=A(1-R) y为产量A为最高产量R为每增加一个单位养分(x)引起的增产量与前一 个增施单位养分(x-)所引起的增产量之比。 当x表示施肥量，b表示土壤的养分效应量时， y=A(1-R) 或y=M-AR 式中，M为最高产量，A为施肥能得到的最大增产量。 ·指数方程式特征：①报酬递减②反映最高产量以前的效应 ·上述指数方程式都存在一个共同的缺点，即肥料用量没有超过最高产量施肥量，它 们不能反映总产量因施肥量增加而下降的那部分效应关系。 (3)多项式 任何函数至少在一个比较小的领域内可用多项式做近似表示，因此在条件较复杂时， 可首先试用多项式回归进行回归计算。在肥料效应函数中多项式的优点是：①可用最小二 乘法对它的参数进行方便的检验：②可以反映出最高产量及其以后的产量下降：③可以直 接反映施肥量与产量的关系，而不象多数指数式只适于表示养分供应量与产量的关系 在肥料效应的多项式中又有二次式及其多种变换式之分。 i二次方程式 Nik1as&Mil1er(1927)根据肥料报酬递减律导出二次多项式。 y=bo+b x+bax 式中b、b、b:为参数，b,表示不施肥时的产量，b确定开始阶段的产量增长趋势，b2表示 肥料效应的曲率程度及方向，b、b:的意义可用微分作如下说明： y=bo+b.x+b2x2 微分得：dy=b,dx+2bxd dy/dx=b+2bzx 边际产量曲线 11

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 11 ii 典型的指数方程式 米氏方程中 X 为养分供应量，包括了土壤养分，不能直观表达施肥量的影响，为此， 克劳斯等提出了修正式，并称之为典型的指数方程式。 y=y0+d(1-10-cx) y0 为不施肥产量 d 最大增产量 k 效应系数 iii 斯皮尔曼(Spillman)方程式 y=A(1-R x ) y 为产量 A 为最高产量 R 为每增加一个单位养分(xi)引起的增产量与前一 个增施单位养分(xi－1)所引起的增产量之比。 当 x 表示施肥量，b 表示土壤的养分效应量时， y=A(1-R x+b) 或 y=M-ARx 式中，M 为最高产量，A 为施肥能得到的最大增产量。 ·指数方程式特征：①报酬递减 ②反映最高产量以前的效应 ·上述指数方程式都存在一个共同的缺点，即肥料用量没有超过最高产量施肥量，它 们不能反映总产量因施肥量增加而下降的那部分效应关系。 (3)多项式 任何函数至少在一个比较小的领域内可用多项式做近似表示，因此在条件较复杂时， 可首先试用多项式回归进行回归计算。在肥料效应函数中多项式的优点是：①可用最小二 乘法对它的参数进行方便的检验；②可以反映出最高产量及其以后的产量下降；③可以直 接反映施肥量与产量的关系，而不象多数指数式只适于表示养分供应量与产量的关系。 在肥料效应的多项式中又有二次式及其多种变换式之分。 i 二次方程式 Niklas & Miller (1927)根据肥料报酬递减律导出二次多项式。 y=b0+b1x+b2x 2 式中 b0、b1、b2 为参数，b0 表示不施肥时的产量，b1 确定开始阶段的产量增长趋势，b2 表示 肥料效应的曲率程度及方向，b1、b2 的意义可用微分作如下说明： y=b0+b1x+b2x 2 微分得：dy=b1dx+2b2xdx dy/dx=b1+2b2x 边际产量曲线

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 dy/dx=0时得最高产量，即b+2b2x=0x=-b/2b 此为最高产量的施肥量 将上式再次微分得dy/dx2=2b 它反应了边际产量曲线的情况，因而反应了肥料效应方程曲率的程度及方向： b2>0时，dy/dx2>0边际产量不断增加， 曲线是报酬递增型，产量随施肥量的增加而 不断提高，不出现最高产量点 b20b<0 ·特征：①报酬递减： ②包括了产量随施肥量增大至过量的下降的部分 ii变换式 平方根变换式y=b+bx2+bx 1.5次方变换式y=bobx+b2x (④)、两条或三条相交直线的效应方程式 其模式为y=bbX y'=b'+b‘x交点称为转折点 应用直线效应方程式估算最佳施肥量时不需进行复杂的运算，结果也更精确 2、两种及两种以上元素的肥料效应回归方程式 (1)米采利希方程式 y=A(1-10)(1-10）(1-10). 式中x、x'、x”.表示不同养分的量，C、C、C”.表示有关养分的效应系数，A 为同时满足x、x”及x”等诸养分的最高产量 (2)斯皮尔曼方程式 y=A(1-R)(1-R)(1-R） 式中A,R的含义均与单元效应式相同 a、b、c为施入的各种养分量 n、D、k为士壤中相应养分的效应量 12

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 12 dy/dx=o 时得最高产量，即 b1+2b2x=0 x=-b1/2b2 此为最高产量的施肥量 将上式再次微分得 d 2 y/dx2 =2b2 它反应了边际产量曲线的情况，因而反应了肥料效应方程曲率的程度及方向： b2＞0 时， d 2 y/dx2＞0 边际产量不断增加， 曲线是报酬递增型, 产量随施肥量的增加而 不断提高，不出现最高产量点 b2＜0 时，d 2 y/dx2＜0，曲线是报酬递减型，产量的增加有一个最高产量点 b2=0 时，曲线为直线型的 典型的肥料效应曲线，当用二次式时，b1＞0 b2<0 ·特征：①报酬递减； ②包括了产量随施肥量增大至过量的下降的部分 ii 变换式 平方根变换式 y=b0+b1x 0.5+b2x 1.5 次方变换式 y=b0+b1x+b2x 1.5 (4)、两条或三条相交直线的效应方程式 其模式为 y=b0+b1x y’=b0’+b1’x 交点称为转折点 应用直线效应方程式估算最佳施肥量时不需进行复杂的运算，结果也更精确. 2、两种及两种以上元素的肥料效应回归方程式 （1）米采利希方程式 y=A(1-10-cx)(1-10-c’ x’)(1-10-c” x”). 式中 x、x′、x″.表示不同养分的量，C、C′、C″.表示有关养分的效应系数， A 为同时满足 x、x″及 x″等诸养分的最高产量 （2）斯皮尔曼方程式 y=A(1-R n+a)(1-R p+b)(1-R k+c) 式中 A，R 的含义均与单元效应式相同 a、b、c 为施入的各种养分量 n、p、k 为土壤中相应养分的效应量

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的恭本原理与基本方法 (3)二次多项式 1两元素的肥料效应二次方程式 当有两元素X、Z时，可有二种肥料效应，即X的主效应，Z的主效应及X、Z的交互 效应。 其数学模式一般写做： y=bo+bx+bax+baz+bz+bsxz 式中，bb为偏回归系数，其中b,b,为一次项主效应：ba,b为二次项主效应，代表 过量施肥产量下降的趋势：b为效互效应。 i三元素的肥料效应二次方程式 y=bo+b.x+b-x+baz+b2+b:u+bou+bzxz+b.xu+bzu iii二次多项式的各种变换 常用的变换式也是平方根变换式和1.5次方变换式，如下： y=bo+bz+bax+bz+bz+bx y=bo+bix+b2x+bz+bz+bsxz y=bo+bx+bzx+bz+bz+bu+bu+b (xz)+b (xu)+b (zu) y=b+bx+b2x+bz+b+bsu+bu+bxz+bxu+bzu 其特性和意义与一元时相同 3、多因素效应方程式的若干性质 (1)对多项式效应方程式回归系数的分析 在两元素共同作用时，其中一元素（如x)的参数决定于另一元素的值（如2=2）。自由 项(6')是相应元素恒定值(2i)的二次三项式，元素的一次主效应项的系数(6，')为第二元 素的简单线性函数，而表示元素作用曲率的系数6，')则与第二元素无关。 (2)肥料效应曲面 (3)边际产量 定义：增减单位肥料所引起的总产量的增减额 根据效应方程，可以求出任一肥料的边际产量，即y对x或z的一阶偏导数。 根据边际产量方程式可以求出经济最佳施肥量和最高产量施肥量。 (4)等产线 把肥料效应曲面上相同产量的点连接起来，可绘成该曲面的等高线，此等高线对于底 13

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 13 （3）二次多项式 i 两元素的肥料效应二次方程式 当有两元素 X、Z 时，可有二种肥料效应，即 X 的主效应，Z 的主效应及 X、Z 的交互 效应。 其数学模式一般写做： y=b0+b1x+b2x 2 +b3z+b4z 2 +b5xz. 式中，b1.b5 为偏回归系数，其中 b1,b3 为一次项主效应；b2,b4 为二次项主效应，代表 过量施肥产量下降的趋势；b5 为效互效应。 ii 三元素的肥料效应二次方程式 y=b0+b1x+b2x 2 +b3z+b4z 2 +b5u+b6u 2 +b7xz+b8xu+b9zu iii 二次多项式的各种变换 常用的变换式也是平方根变换式和 1.5 次方变换式，如下： y=b0+b1z 0.5+b2x+b3z 0.5+b4z+b5x 0.5 z 0.5 y=b0+b1x+b2x 1.5+b3z+b4z 1.5+b5xz y=b0+b1x 0.5+b2x+b3z 0.5+b4z+b5u 0.5+b6u+b7(xz)0.5+b8(xu)0.5+b9(zu)0.5 y=b0+b1x+b2x 1.5+b3z+b4z 1.5+b5u+b6u 1.5+b7xz+b8xu+b9zu 其特性和意义与一元时相同 3、多因素效应方程式的若干性质 （1）对多项式效应方程式回归系数的分析 在两元素共同作用时，其中一元素(如 x)的参数决定于另一元素的值(如 z=zi)。自由 项(b0’)是相应元素恒定值(zi)的二次三项式，元素的一次主效应项的系数(b1’)为第二元 素的简单线性函数，而表示元素作用曲率的系数(b2’)则与第二元素无关。 （2）肥料效应曲面 （3）边际产量 定义：增减单位肥料所引起的总产量的增减额 根据效应方程，可以求出任一肥料的边际产量，即 y 对 x 或 z 的一阶偏导数。 根据边际产量方程式可以求出经济最佳施肥量和最高产量施肥量。 （4）等产线 把肥料效应曲面上相同产量的点连接起来，可绘成该曲面的等高线，此等高线对于底

养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 面的垂直投影称为等产线。 等产线实际上是y恒定时，养分x、z互为自变量和因变量的二元曲线，等产线上任 一点，都表示一种能获得产量y的二养分组合方案。 等产线的方程式可由肥料效应方程式导出： y为恒值，则b+bx+b2x+bz+b2bsxz-y=0 (5)边际代替率(RS) 边际代替率，以微分式表示即为该等产线在某一点的一阶导数，二元二次肥料效应的 边际代替奉如下： dx/dz=-(ba+2b.z+b:x)/(b:+2bzx+b:z) 边际代替率又都是有关养分元素的边际产量的倒数的负数 在确定应施肥料中各种养分的最佳配比时，边际代替式具有重要意义。根据经济原则， 养分的理想配比应满足dx.px=-dz.pz (6)等斜线 将一系列等产线上斜率相同的各丝连接起来成一条曲线，叫等斜线。 等斜线连接了一系列等产线上边际代替率相等的各点。 令边际代替率dx/z=k(恒值)，即得二元肥料效应方程式的等斜线方程式： dx/dz=-(b;+2b.z+b:x)/(b:+2bzx+b:z)=-k (2b2k-bs)x-(2b-bk)z+(bik-ba)=0 (7)脊线 连接共心椭圆形左边垂直点的那条等斜线，以及连接共心椭圆形下边水平点那条等斜 线，是各等产线合理线段的边界，叫做脊线，两条脊线与两个坐标轴之间构成一个肥料的 “养分合理配比区”。 连接垂点的脊线与各等产线交点的养分因素的边际代替式dz/x应为∞，其方程式为 b+2bz+bsx=0.上脊线 连接水平点的脊线与各等产线交点处的养分因素边际代替率dz/x高为0，其方程式 b1+2b2x+bs2=0.下脊线 以上二式联立可求得极点（最高产量点），两脊线夹角愈大，肥料配比的可变性愈大， 反之亦然。 一般地，产量水平低时肥料间的可代替范围较大，而产量水平提高后，肥料间的可代 替范围变小，最高产量点只有一个肥料配比方案。 14

养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 14 面的垂直投影称为等产线。 等产线实际上是 y 恒定时，养分 x、z 互为自变量和因变量的二元曲线，等产线上任 一点，都表示一种能获得产量 y 的二养分组合方案。 等产线的方程式可由肥料效应方程式导出： y 为恒值，则 b0+b1x+b2x 2 +b3z+b4z 2 +b5xz-y=0 （5）边际代替率(MRS) 边际代替率，以微分式表示即为该等产线在某一点的一阶导数，二元二次肥料效应的 边际代替率如下： dx/dz=-(b3+2b4z+b5x)/(b1+2b2x+b5z) 边际代替率又都是有关养分元素的边际产量的倒数的负数 在确定应施肥料中各种养分的最佳配比时，边际代替式具有重要意义。根据经济原则， 养分的理想配比应满足 dx.px=-dz.pz （6）等斜线 将一系列等产线上斜率相同的各丝连接起来成一条曲线，叫等斜线。 等斜线连接了一系列等产线上边际代替率相等的各点。 令边际代替率 dx/dz=k(恒值)，即得二元肥料效应方程式的等斜线方程式： dx/dz=-(b3+2b4z+b5x)/(b1+2b2x+b5z)=-k (2b2k-b5)x-(2b4-b5k)z+(b1k-b3)=0 （7）脊线 连接共心椭圆形左边垂直点的那条等斜线，以及连接共心椭圆形下边水平点那条等斜 线，是各等产线合理线段的边界，叫做脊线，两条脊线与两个坐标轴之间构成一个肥料的 “养分合理配比区”。 连接垂点的脊线与各等产线交点的养分因素的边际代替式 dz/dx 应为∞，其方程式为 b3+2b4z+b5x=0.上脊线 连接水平点的脊线与各等产线交点处的养分因素边际代替率 dz/dx 高为 0，其方程式 b1+2b2x+b5z=0.下脊线 以上二式联立可求得极点(最高产量点)，两脊线夹角愈大，肥料配比的可变性愈大， 反之亦然。 一般地，产量水平低时肥料间的可代替范围较大，而产量水平提高后，肥料间的可代 替范围变小，最高产量点只有一个肥料配比方案