山东第一医科大学（泰山医学院）：《高等数学》课程教学课件（打印版）第十二章 无穷级数

第十一章无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 第二节 常数项级数审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 第七节 傅立叶级数 第八节一般周期函数的傅立叶级数 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 3

第一节常数项级数的概念与性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 三、柯西审敛原理 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

一、常数项级数的概念 1、定义：给定-个数列41,42，u3,.,4n,· 则由这数列构成的表达式41+42+4，+.+un+. 叫做（常数项）无穷级数，记为三，“ 其中第n项4，叫做级数的一般项。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

2、级数收敛的概念 定义如果级数2“，的部分和数列{S,有极限，即 Iims=s则称无穷级数∑w,收敛，这时极限 1-00 S叫做这级数的和：如果三“没有极限，则称 无穷级数∑“n发散。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

3、应用 例1无穷级数 2ag=a+ag+ag2++ag+. 叫做等比级数（又称几何级数），其中a≠0,9 叫做级数的公比。试讨论此级数的收敛性。 解：Sn=a+ag+.agn=0,l2,3,9≠1 ∴.gS,n=qa+ag2+.ag" 故 S,=a(g”-) g-1 a 所以 lims,=1-g 9q<1 +0 9≥1 故：等比级数在公比的绝对值不小1时发散，在小于1时收敛。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

例2证明级数1+2+3+.+n+.是发散的。 证明：S。=1+2+3+.n=n+n=l2,3 2 ∴.limS,=li nn+)=+0 2 所以所给级数发散。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

12*23*.*1 例3判定无穷级数1+1 n(n+1) +.的收敛性。 解4，=1=11 nn+1)nn+1' 1,1 1223++1 n(n+1) 23++1-1 n+l 从而im8=im1-1) n*71 所以这个级数是收敛的，它的和是1。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

二、 收敛级数的基本性质 性质1如果级数∑4，收敛于和S,则级数∑也收 敛，且其和为k。 性质2如果级蛇“~，分别收敛于s和1则 级数∑(u,+y)也收敛，且其和为s±t. 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数 的收敛性。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

性质4如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的 级数收敛。 (4+.+n)+(n1+.+)+.+(%+.+n)+. 特别注意：此结论的逆定理不成立。 性质5（级数收敛的必要条件） 如果级数∑“。收敛，则它的一般项趋于零，即 im4,=0 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。 例如**调和级数1十 ++.++ 23 n 的一般项趋于零，但它却是发散的。 证明：采用反证法： 若级数收敛，其和记为s, n 部分和为： 8乃1 p 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室