山东第一医科大学（泰山医学院）：《高等数学》课程教学课件（打印版）第七章 微分方程

第一节微分方程的基本概念 (Basic concept of differential equations) 一问题的提出 二微分方程的定义 (Definition of differential equations) 三 主要问题——求方程的解 四 小结思考判断题 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 1

问题的提出 例1一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解设所求曲线为y=y(x) dy=2x 当x=l时，y=2 dx y=2x所以y=x2+C,求得C=1, 所以所求曲线为y=x2+1. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室

例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶， 当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2，问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解设制动后t秒钟行驶s米，s=s(t) 8=0.4t=0时，s=0,= =20, d v==-0.4+C,s=-0.22+C,t+C, dt 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室

代入条件后知 C1=20,C2=0 v=ds =-0.4t+20, _dt 故s=-0.2t2+20t, 开始制动到列车完全停住共需1二450（秒】 列车在这段时间内行驶了 s=0.2×50+20×50=500米). 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

二微分方程的定义 (Definition of differential equations) 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例y'=, y"+2y'-3y=e*, (t2+x)dt+d=0, 0=x+y, Ox 实质联系自变量，未知函数以及未知函数的 某些导数（或微分）之间的关系式 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室

分类1常微分方程，偏常微分方程， 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之 分类2 一阶微分方程F(x,y,y)=0,y'=f(,y 高阶(n)微分方程F(x,y,y',y)=0, ym=f(比，y,y',.,ym-. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室

分类3线性与非线性微分方程 y'+P(x)y=Q(x),x(y'2-2y'+x=0; 分类4单个微分方程与微分方程组. =3y-2z, dx dz 、dx =2y-, 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室

三 主要问题-一-一求方程的解 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数 设y=p(x)在区间I上有n阶导数， F(x,p(x),p'(x),p(x)=0. 微分方程的解的分类 (1)通解微分方程的解中含有任意常数，且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室

例y=y, 通解y=ce; y"+y=0,通解y=c,sinx+c2cosx (2)特解确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象微分方程的积分曲线， 通解的图象积分曲线族， 初始条件 用来确定任意常数的条件。 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， [y'=f(x,y) 一阶 yx=x yo 过定点的积分曲线： [y"=f(x,y,y') 二阶 x==0,==6 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室