山东第一医科大学（泰山医学院）：《高等数学》课程教学课件（打印版）第四章 不定积分

第一节不定积分的概念与性质 一问题的提出 二 原函数与不定积分的概念 三 基本积分公式 四不定积分的性质 五小结 六思考与判断题 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 1

问题的提出 我们知道 (sinx)'=cosx 反之， (?)'=c0sx 不难知道 cosx=(sinx+C ) 因此，本章所讲的内容就是导数的逆运算 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研案

原函数与不定积分 定义1如果在区间I内，可导函数F(x)的 导函数为f(x),即x∈I,都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dc,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)d在区间I内原函数， (日)-是，是的原函数 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研案

原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I内连续， 内存在可导函数F(x), 即，连续函数一定有原函数. 考察例子：(sinx)=cosx(sinx+C)=cosx :.sinx+C都是cosx的原函数(C为任意常 数) 由此可以得 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室

原函数的2个结论 (1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数. (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函 数，则F()-G(x)=C(C为任意常 证[F()-G(=F落-G) =f(x)-f(x)=0 .F(x)-G(x)=C(C为任意常 数) 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研常

定义2 在区间I内，函数f(x)的带有任意 常数项的原函数，称为f(x)在区间I内的 的不定积分，记为 ∫fx)d fx)c∈F(x)+C 积表达式 分 任 数 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室

例1求∫xdc. 解 .∫xd= x +C 例2求广，1 解 1 (arctanx)= 1+x2) =aretanx+C. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研常

侧求∫ x 解x>0,:mx= lnx是在+的个原函数。 x<0,ln(-x)r=(-x)y'= -x x ∴ln(-)是在(a0的一个原函数. 攻-nx+c 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研常

例4设曲线通过点(2,5)，且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 解设曲线方程为y=f(x), 根据题意知 dy=2x, dx 即f(x)是2x的一个原函数. J2xdx=x+C,:f(x)=x2+C, 由曲线通过点(2,5)代入上式，得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1. 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研常

注：f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线， 由不定积分的定义，可得如下性质： -ro dl [f(x)dxl=f(x)dx, JF(x)dx=jdF(x)=F(x)+C. 由此可见微分运算与求不定积分的运算是互逆 幽∫与d一起运算时可以抵消或相差一个常数。 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研常