山东第一医科大学（泰山医学院）：《高等数学》课程教学课件（打印版）第六章 定积分的应用（Applications of Integration）

第六章 定积分的应用 (Applications of Integration) 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且 更重要的还在于介绍运用元素法解决问题 的定积分的分析方法。 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 1

第一节 定积分的元素法 (Element Method of Definite Integral) 一 问题的提出 二 定积分的元素法 三小结 四思考判断题 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

问题的提出(Introduction) 考虑曲边梯形面积计算问题 曲边梯形由连续曲线 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=a、 x=b所围成。 ol a A=[f(x)dx 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

面积表示为定积分要通过如下步骤： (1)把区间a,b]分成n个长度为△x,的小区间， 相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为△4，则A=∑△4，. i-1 (2)计算△A,的近似值△4，≈f(5;)△x,5:∈△r, (3)求和，得的近似值A≈f传)4x (4)求极限，得的精确值 i=l A=lim∑f(5)△x,=f(x)d 2→01 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

比较m2f⑤)Ax,与重f(e)k →0 两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边 的定积分表达式有很好的对应。我们让 0台 对应 而使f(5;)△x,对应f(x)d 要想得到一个定积分表达式，只要求出被积 表达式f(x)dk,这就是定积分的元素法 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

二 定积分的元素法(Element Method) 当所求量U符合下列条件 (1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的 量； (2)U对于区间[a,b]具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U相应 地分成许多部分量，而U等于所有部分量之 和； (3)部分量△U,的近似值可表示为f(5;)△x,: 就可以考虑用定积分来表达这个量U 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

元素法的一般步骤 1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为 积分变量，并确定它的变化区间α，b1: 2)设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,x+dx,求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值.如果△U能近似地表 示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x) 与d的乘积，就把f(x)dk称为量U的元素且 记作dU,即dU=f(x)d; 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

3)以所求量U的元素f(x)d为被积表达式，在 区间a,b]上作定积分，得U=心f(x)dk, 即为所求量U的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法， 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧 长；功；水压力；引力和平均值等. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

三 小结(sumary) 元素法的提出、思想、步骤 (注意微元法的本质) 四思考题 微元法与定积分的关系是什么？ 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室

第二节 定积分在几何上的应用 一 平面图行的面积 空间立体的体积 三平面曲线的弧长 四小结 五思考、判断题 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室