山东第一医科大学（泰山医学院）：《高等数学》课程教学课件（打印版）第九章 多元函数微分法及其应用

第一节多元函数的基本概念 一、平面点集 二、多元函数概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 1

平面，点集 邻域 回忆 .o 设a与6是两个实数，且6>0. 数集{xx-a<6称为点a的6邻域记作U(a,6) U(a,6)={xx-al<6} 点a叫做这邻域的中心，6叫做这邻域的半径 U(a,6)={xa-6<x<a+6} a-u a+δ 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

1.邻域 点集U(P,)={PPP<6},称为点P的6邻域. 例如，在平面上， P。 U(B,8)={x,y)V(x-xo)2+y-o)2<6}6 (圆邻域) 在空间中， U(B,6)={(x,y,zVx-x)2+0y-)2+(z-zo)2<6} (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径δ，也可写成U() 点P。的去心邻域记为P)={P叶0<P<} 2012.329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室

2.区域 (①)内点、外点、边界点 设有点集E及一点P: ·若存在，点P的某邻域U(P)cE, 则称P为E的内点； ·若存在，点P的某邻域U(P)∩E=② 则称P为E的外点； 。若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内，点也含E 的外点，则称P为E的边界点· 显然，E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的 边界点可能属于E,也可能不属于E 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

(②)聚点 若对任意给定的δ，点P的去心 邻域U(P,)内总有E中的点，则 称P是E的聚，点。 聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为 E的边界点) 例如：设平面点集 E={(x,y1<x2+y2≤2}. 满足1<x2+y2<2的一切，点（化，y)都是E的内点； 满足x2+2=1的一切点(x,y)都是E的边界，点，它们都不属于E; 满足x2+2=2的一切点（心，y)也是E的边界点，它们都属于E: 点集E以及它的界边E上的极点都是E的聚，点. 5

(③)开区域及闭区域 ·若点集E的点都是内点，则称E为开集； ·E的边界，点的全体称为E的边界，记作E; ·若点集EoOE,则称E为闭集； ·若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连， 则称D是连通的； ·连通的开集称为开区域，简称区域； 。开区域连同它的边界一起称为闭区域。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

例如，在平面上 {(x,y)x+y>0} 开区域 *{(x,y)1<x2+y2<4} {(x,y)川x+y≥0} 闭区域 *{(x,y)1≤x2+y2≤4} 2012.329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研蜜

整个平面是最大的开域， 也是最大的闭域； +点集{(x,y)x>}是开集， 但非区域 ·对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点 A的距离APkK,则称D为有界域，否则称为无界域. 举例： 点集{x,y1≤r2+y2≤4}是有界闭区域； E 点集{，川x+y>1}是无界开区域： 点集{x,y川x+21}是无界闭区域. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室

(4)n维空间 实数x←一一对应数轴，点 实数全体表示直线（一维空间）R 数组化，)一应平面点 (化，)全体表示平面（二维空间）R 数组化，八，习一一对应空间点 化，以，)全体表示空间（三维空间）R3 推广：n维数组(，x 全体称为m维空间，记为R”. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研蜜

n维空间中两点间距离公式 设两点为P(1,x2,.,xn为(1，y2,.》n |P1=V(y-x)2+(y2-x2)2+.+(yn-xn)2. 特殊地，当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离. n维空间中邻域概念： U(E,δ)={PPRK6,P∈R"} 区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义，一 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室