武汉理工大学：《模式识别》课程授课教案（讲义）第7章 模糊模式识别

第7章模糊模式识别1965年，美国著名控制论专家L.A.Zadeh(1965)提出模糊集(fuzzysets)概念，建立了模糊集理论，开创了研究不确定性问题的理论方法。近年来，模糊理论与技术得到了迅猛发展，以模糊集理论为基础的应用学科已在工业、农业、医学、军事、计算机科学、信息科学、管理科学、系统科学、工程技术等学科领域中发挥着非常重要的作用，带来了巨大的经济效益。由手人类对模式识别过程的机理自前仍然不是很清楚，客观事物的特征也存在不同程度的模糊性，使得经典的模式识别方法在实际应用中有很大的局限性，模糊模式识别在这一背景下应运而生。模糊模式识别以模糊数学为理论基础，能对模糊事物进行识别和判断。用模糊技术来设计模式识别系统，可简化识别系统的结构，更准确地模拟人脑的思维过程，从而对客观事物进行更为有效的分类与识别。模糊模式识别是对传统模式识别方法的有用补充。7.1模糊数学的基础知识模糊模式识别的理论基础是模糊数学，模糊数学又称为“模糊集理论”，是在康托尔(GeorgCantor)的经典集合理论基础上发展起来的一个数学分支。为了更好理解模糊模式识别的方法，在介绍模糊模式识别之前，我们先介绍模糊数学中的一些重要概念。7.1.1集合及其特征函数集合是数学中的一个基本概念，也是近代数学的理论基础。在具体的模式识别系统中，常常将研究的对象抽象成数学表达，并将其限定在一定的范围内，这个范围被称为“论域”，论域中包含的对象称为元素，在此基础上定义出集合的概念。（1）集合在经典集合理论中，集合是指具有某种共同属性的事物的全体，即论域E中具有性质P的元素组成的总体称为集合。可记为A=(xP(x))(7-1)其中P(x)表示元素x具有性质P。（2）集合的运算设定义在论域U中的集合A与B，则集合的常用运算包括有交：A与B的交集，记为AB并：A与B的并集，记为AUB补：A的补集，记为A（3）特征函数对于论域U上的集合A和元素x，如有以下函数1

1 第 7 章 模糊模式识别 1965 年，美国著名控制论专家 L.A.Zadeh(1965)提出模糊集(fuzzy sets)概念，建立了模 糊集理论，开创了研究不确定性问题的理论方法。近年来，模糊理论与技术得到了迅猛发展， 以模糊集理论为基础的应用学科已在工业、农业、医学、军事、计算机科学、信息科学、管 理科学、系统科学、工程技术等学科领域中发挥着非常重要的作用，带来了巨大的经济效益。 由于人类对模式识别过程的机理目前仍然不是很清楚，客观事物的特征也存在不同程度的模 糊性，使得经典的模式识别方法在实际应用中有很大的局限性，模糊模式识别在这一背景下 应运而生。模糊模式识别以模糊数学为理论基础，能对模糊事物进行识别和判断。用模糊技 术来设计模式识别系统，可简化识别系统的结构，更准确地模拟人脑的思维过程，从而对客 观事物进行更为有效的分类与识别。模糊模式识别是对传统模式识别方法的有用补充。 7.1 模糊数学的基础知识 模糊模式识别的理论基础是模糊数学，模糊数学又称为“模糊集理论”，是在康托尔 (Georg Cantor)的经典集合理论基础上发展起来的一个数学分支。为了更好理解模糊模式识 别的方法，在介绍模糊模式识别之前，我们先介绍模糊数学中的一些重要概念。 7.1.1 集合及其特征函数 集合是数学中的一个基本概念，也是近代数学的理论基础。在具体的模式识别系统中， 常常将研究的对象抽象成数学表达，并将其限定在一定的范围内，这个范围被称为“论域”， 论域中包含的对象称为元素，在此基础上定义出集合的概念。 （1）集合 在经典集合理论中，集合是指具有某种共同属性的事物的全体，即论域 E 中具有性质 P 的元素组成的总体称为集合。可记为 A x P x { ( )} （7-1） 其中 P x( ) 表示元素 x 具有性质 P 。 （2）集合的运算 设定义在论域 U 中的集合 A 与 B ，则集合的常用运算包括有 交： A 与 B 的交集，记为 A B 并： A 与 B 的并集，记为 A B 补： A 的补集，记为 A （3）特征函数 对于论域 U 上的集合 A 和元素 x，如有以下函数

[1当xEA(7-2)C(x)=lo当xA则称C,(x)为集合A的特征函数。在论域U上，特征函数与集合具有一一对应关系，任一集合A都有唯一的特征函数C(x），任一特征函数C,(x）都唯一确定一个集合A。由特征函数的定义可以看出，特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度，集合A是由特征函数等于1的所有元素构成的。7.1.2模糊集合（1）概念的模糊性传统集合理论中，元素对集合的归属是确定，一个元素或者属于一个集合，或者不属于一个集合。但在现实生活中，人们习惯保用一些含义确定但又不准确的表述，如用好与差来表述成绩、高与矮表述身高、年轻与年老表述年龄等，这些概念集合具有一个共同的特性一一模糊性。（2）隶属度函数如果一个集合的特征函数C,(x)不是(0,1)二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则C(x)是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数，称为隶属度函数，通常记为μ(x)，定义为1xEAμ(x)=>0<μA(x)<1x在一定程度上属于A(7-3)L0XEAμ(x)=1表示元素x完全属于集合A，而μ(x)=0表示元素x完全不属于集合A，0<μ,(x)<1表示x属于集合A的可能性。因此，定义在样本空间的隶属度函数就定义了一个模糊集合A，或者叫定义在样本空间上的一个模糊子集A。对有限个元素(x，2，x），模糊集合A可以表示为A=(u(x),x)(7-4)由上述定义可知，模糊集合A可以由隶属度函数μ(x)完全刻画，μ(x)越大表明元素x隶属于集合A的可能性越大，反之，μA(x）越接近于0，元素x隶属于集合A的可能性越小。尽管属度和概率都是用一个0～1之间的实数来表达，但是二者有本质区别。隶属度表达的是某个命题具有某个概念的程度，这种程度是确定的，不包含任何的随机性，例如“今天天气热的程度是0.8”，表达的是一个确切的气温值，而这个温度值在0.8的程度上可以算“热”。概率表达的是某个命题具有某个概念的可能性，命题对这个概念的取值仍旧是二值的，“属于”或者“不属于”，只是是否“属于”具有随机性，例如“今天天气热的概率是0.8”，表达的是“热”或者“不热”这两个明确的概念，而“热”的情形发生的概率为0.8。2

2 1 ( ) 0 A x A C x x A       当 当 （7-2） 则称 ( ) C x A 为集合 A 的特征函数。在论域 U 上，特征函数与集合具有一一对应关系，任一 集合 A 都有唯一的特征函数 ( ) C x A ，任一特征函数 ( ) C x A 都唯一确定一个集合 A 。由特征 函数的定义可以看出，特征函数表达了元素 x 对集合 A 的隶属程度，集合 A 是由特征函数 等于 1 的所有元素构成的。 7.1.2 模糊集合 （1）概念的模糊性 传统集合理论中，元素对集合的归属是确定，一个元素或者属于一个集合，或者不属于 一个集合。但在现实生活中，人们习惯保用一些含义确定但又不准确的表述，如用好与差来 表述成绩、高与矮表述身高、年轻与年老表述年龄等，这些概念集合具有一个共同的特性— —模糊性。 （2） 隶属度函数 如果一个集合的特征函数 ( ) C x A 不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则 ( ) C x A 是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函数，称为隶属度函数，通常记为 ( ) A  x ， 定义为 1 ( ) 0 ( ) 1 0 A A x A x x x A x A             在一定程度上属于 （7-3） ( ) 1 A  x  表示元素 x 完全属于集合 A ，而 ( ) 0 A  x  表示元素 x 完全不属于集合 A ， 0 ( ) 1 A    x 表示 x 属于集合 A 的可能性。因此，定义在样本空间的隶属度函数就定义了 一个模糊集合 A ，或者叫定义在样本空间上的一个模糊子集 A 。对有限个元素 x x x 1 2 , , , n ，模糊集合 A 可以表示为 A x x   A i i ( ),  （7-4） 由上述定义可知，模糊集合 A 可以由隶属度函数 ( ) A  x 完全刻画， ( ) A  x 越大表明元素 x 隶 属于集合 A 的可能性越大，反之， ( ) A  x 越接近于 0，元素 x 隶属于集合 A 的可能性越小。 尽管隶属度和概率都是用一个 0～1 之间的实数来表达，但是二者有本质区别。隶属度表达 的是某个命题具有某个概念的程度，这种程度是确定的，不包含任何的随机性，例如“今天 天气热的程度是 0.8”，表达的是一个确切的气温值，而这个温度值在 0.8 的程度上可以算 “热”。概率表达的是某个命题具有某个概念的可能性，命题对这个概念的取值仍旧是二值 的，“属于”或者“不属于”，只是是否“属于”具有随机性，例如“今天天气热的概率是 0.8”，表达的是“热”或者“不热”这两个明确的概念，而“热”的情形发生的概率为 0.8

对于，2"x中A的隶属度大于0的样本集合叫做A的支持集，可表示为S(A)=(x,μA(x,)>0)(7-5)支持集中的元素称作模糊集A中的支持点，或者称为模糊集A的元素。可见看出，传统的确定集合是模糊集的特例，模糊集可以看作是确定集合的一般化。（3）隶属度函数的确定方法在模糊模式识别中，隶属函数的确定也是需要重点考虑的问题。由于模糊概念是客观模糊现象的主观反映，因此属度函数的形成是人为的心理过程，人的主观因素的影响使隶属度函数确定具有复杂性。虽然隶属度函数的确定是模糊数学中的难点，但也已经提出十几种确定隶属度函数的方法，如专家评分法、二元对比排序法等。1）专家评分法主要是依据专家经验给出隶属度的具体值。这种方法适用于论域元素离散而有限的情况。其缺点是难免引入个人的主观成份，但当难于用其它方法实现的应用来说，仍是一种可选的办法。2）模糊统计法模糊统计法利用模糊统计的方法确定隶属函数，这是一种在实际应用中使用广泛的方法。方法的主要思路如下每次试验下，对元素x是否属于集合A做出一个确定的判断，有x对A的隶属频率=“%A"的次数n随着n的增大，隶属频率呈现稳定性，所在的稳定值即为隶属度，有“XEA"的次数μ,(x)=limnn>053）二元对比排序法比较两个元素相应隶属度的大小，然后排序，再用数学手段得其隶属度函数。4）综合加权法从隶属度函数的形式上来看，其一般来源于对概念模糊程度的统计调查和专家经验总结，通常μ(x)可定义为元素x的单值函数，常见的隶属度函数有1）三角形三角形隶属度函数定义为m

3 对于 x x x 1 2 , , , n 中 A 的隶属度大于 0 的样本集合叫做 A 的支持集，可表示为 S A x x ( ) , ( ) 0    i A i   （7-5） 支持集中的元素称作模糊集 A 中的支持点，或者称为模糊集 A 的元素。可见看出，传统的 确定集合是模糊集的特例，模糊集可以看作是确定集合的一般化。 （3）隶属度函数的确定方法 在模糊模式识别中，隶属函数的确定也是需要重点考虑的问题。由于模糊概念是客观模 糊现象的主观反映，因此隶属度函数的形成是人为的心理过程，人的主观因素的影响使隶属 度函数确定具有复杂性。虽然隶属度函数的确定是模糊数学中的难点，但也已经提出十几种 确定隶属度函数的方法，如专家评分法、二元对比排序法等。 1) 专家评分法 主要是依据专家经验给出隶属度的具体值。这种方法适用于论域元素离散而有限的情 况。其缺点是难免引入个人的主观成份，但当难于用其它方法实现的应用来说，仍是一种可 选的办法。 2) 模糊统计法 模糊统计法利用模糊统计的方法确定隶属函数，这是一种在实际应用中使用广泛的方 法。方法的主要思路如下 每次试验下，对元素 0 x 是否属于集合 A 做出一个确定的判断，有 0 0 “x A” x A n   的次数 对 的隶属频率 随着 n 的增大，隶属频率呈现稳定性，所在的稳定值即为隶属度，有 0 0 “ ” ( ) A lim n x A x n     的次数 3) 二元对比排序法 比较两个元素相应隶属度的大小，然后排序，再用数学手段得其隶属度函数。 4) 综合加权法 从隶属度函数的形式上来看，其一般来源于对概念模糊程度的统计调查和专家经验总 结，通常 ( ) A  x 可定义为元素 x 的单值函数，常见的隶属度函数有 1) 三角形 三角形隶属度函数定义为

0x≤ax-aa<x<bb-a(7-6)μ (x) =c-xb≤x≤cc-b0c≤x其中，参数α和c确定了三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。其波形如图7-1所示。44[uA (x)μA(x)11-0.8-0.8-0.60.60.40.41I0.20.21-I111axbbdxcac图7-2梯形隶属度函数的波形图图7-1三角形隶属度函数的波形图2）梯形梯形隶属度函数定义为0X≤ax-aa≤x≤bb-a1b≤x≤c(7-7)μ(x)=^c-xc≤x≤dc-b0x≥d其中参数a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。其波形如图7-2所示。3）高斯形梯形隶属度函数定义为_(x-c)2A(x)=e 2g)(7-8)其中，参数通常为正，参数c用于确定曲线的中心。其波形如图7-3所示。44μA(x)(x)11-0.80.8-0.60.60.40.4-0.20.2-1cxxc4

4 0 ( ) 0 A x a x a a x b b a x c x b x c c b c x                      （7-6） 其中，参数 a 和 c 确定了三角形的“脚”，而参数 b 确定三角形的“峰”。其波形如图 7-1 所 示。 b x ( ) A  x 0.2 0.6 0.81 0.4 a c b x ( ) A  x 0.2 0.6 0.81 0.4 a c d 图 7-1 三角形隶属度函数的波形图 图 7-2 梯形隶属度函数的波形图 2) 梯形 梯形隶属度函数定义为 0 ( ) 1 0 A X a x a a x b b a x b x c c x c x d c b x d                          （7-7） 其中参数 a 和 d 确定梯形的“脚”，而参数 b 和 c 确定梯形的“肩膀”。其波形如图 7-2 所示。 3) 高斯形 梯形隶属度函数定义为 2 2 ( ) 2 ( ) x c A x e      （7-8） 其中，参数  通常为正，参数 c 用于确定曲线的中心。其波形如图 7-3 所示。 c x ( ) A  x 0.2 0.4 0.6 0.81 c x ( ) A  x 0.2 0.4 0.6 0.81

图7-3高斯形隶属度函数的波形图图7-4高斯形隶属度函数的波形图4）柯西形梯形隶属度函数定义为1(7-9)u(x):其波形如图7-4所示。（3）模糊集合的基本运算模糊集合是确定集合的一般化，与确定集合要一样，模糊集也可以定义集合运算，此时逐点对隶属度函数作相应的运算，得到新的隶属函数。1）相等已知论域U，若VxeU，均有μ(x)=μg，则称A与B是相等的，即A=Bμ(x)=μB (。2）包含已知论域U，若VxeU，均有μ(x)≤μs(x），则称B包含A，即AcB-μ(xKμB X。3）补集已知论域U，若VxeU，均有μa(x)=1-μ(x)，则称A为A的补集，即A-μ(X)=1-μ(X)。4）空集已知论域U，若VxU，均有μ(x)=0，则称A为空集，即A=Φμ(x)=0。5）全集已知论域E，若VxeU，均有μ(x)=1，则称A为全集，即A=Qμ(X)=1。6）并集已知论域U，若VxeU，均有μc(x)=max[μ(x),μs(x)]，则称C为A与B的并集，即C=AUB μc(x)=max[μA(x),μg(x)]。7）交集已知论域U，若VxeU，均有μc(x)=min[u(x),μg(α)]，则称C为A与B的交集，即C= ANB μc(x)=min[μA(x),μg(x)] 。在上述运算的定义下，容易证明模糊集的运算有如下基本性1）自反律5

5 图 7-3 高斯形隶属度函数的波形图 图 7-4 高斯形隶属度函数的波形图 4) 柯西形 梯形隶属度函数定义为 1 ( ) 1 A b x x c a           （7-9） 其波形如图 7-4 所示。 （3） 模糊集合的基本运算 模糊集合是确定集合的一般化，与确定集合要一样，模糊集也可以定义集合运算，此 时逐点对隶属度函数作相应的运算，得到新的隶属函数。 1) 相等 已 知 论 域 U ， 若  x U ，均有 ( ) ( ) A B   x x  ，则称 A 与 B 是 相 等 的 ， 即 ( ) ( ) A B x x      A B 。 2) 包含 已 知 论 域 U ， 若  x U ， 均 有 ( ) ( ) A B   x x  ， 则 称 B 包 含 A ， 即 ( ) ( ) A B x x      A B 。 3) 补集 已 知 论 域 U ， 若  x U ， 均 有 ( ) 1 ( ) A A   x x   ， 则 称 A 为 A 的 补 集 ， 即 ( ) 1 ( ) A X X      A A 。 4) 空集 已知论域 U ，若  x U ，均有 ( ) 0 A  x  ，则称 A 为空集，即 ( ) 0 A x      A 。 5) 全集 已知论域 E ，若  x U ，均有 ( ) 1 A  x  ，则称 A 为全集，即 ( ) 1 A X      A 。 6) 并集 已知论域 U ，若  x U ，均有    C A B ( ) max ( ), ( ) x x x    ，则称 C 为 A 与 B 的并 集，即 C A B x x x       C A B ( ) max ( ), ( )   。 7) 交集 已知论域 U ，若  x U ，均有    C A B ( ) min ( ), ( ) x x x    ，则称 C 为 A 与 B 的交集， 即 C A B x x x       C A B ( ) min ( ), ( )   。 在上述运算的定义下，容易证明模糊集的运算有如下基本性 1) 自反律

ACA2）反对称律若 ACB，BA,则A=B3）交换律AN B= BAUB=BUA4）结合律(AUB)UC=AU(BUC), (ANB)NC=AN(BNC)5）分配律AU(BNC)=(AUB)N(AUC), AN(BUC)=(ANB)U(ANC)6）传递律AB，BC,则AC7）幂等律AUA=A, ANA=A8）吸收律(ANB)UA=A, (AUB)NA=A9）对偶律AUB-ANB, ANB-AUB10)对合律A=A11)定常律AUQ=Q，ANQ=AAU=A，AN=Φ例7.1已知模糊集A=((0.8α))时，给出该模糊集的几种运算。由已知条件和模糊集的运算规定和性质，有A= (0.2,a)AUA= (0.8U0.2,a)= (0.8,a)ANA = (0.8n0.2,a)= (0.2,a)7.1.3模糊集合的元水平截集截集是联系普通集合与模糊集合的桥梁，它们使模糊集合论中的问题转化为普通集合论的问题来解。设给定模糊集合A和论域U，对任意元e[0,1]，称普通集合A,=(xxeE,μ(x)≥)为A的水平截集。模糊子集本身没有确定边界，其水平截6

6 A A  2) 反对称律 若 A B  ， B A  ，则 A B  3) 交换律 A B B A  A B B A  4) 结合律  A B C A B C     ， A B C A B C     5) 分配律 A B C A B A C        ， A B C A B A C        6) 传递律 A B  ， B C  ，则 A C  7) 幂等律 A A A  ， A A A  8) 吸收律  A B A A   ， A B A A   9) 对偶律 A B A B  ， A B A B  10)对合律 A A  11)定常律 A    ， A A   A A   ， A    例 7.1 已知模糊集 A a  0.8,  时，给出该模糊集的几种运算。 由已知条件和模糊集的运算规定和性质，有 A a  0.2,  A A a a   0.8 0.2, 0.8,    A A a a   0.8 0.2, 0.2,    7.1.3 模糊集合的  水平截集 截集是联系普通集合与模糊集合的桥梁，它们使模糊集合论中的问题转化为普通集合论 的 问 题 来 解 。 设 给 定 模 糊 集 合 A 和 论 域 U ，对任意  01， ， 称 普 通 集 合 A x x E x      , ( )   A  为 A 的  水平截集。模糊子集本身没有确定边界，其  水平截

集有确定边界，并且不再是模糊集合，而是一个确定集合。7.1.4模糊关系及模糊矩阵在模糊模式识别系统中，对象与类别之间的关系不宜用“属于”或“不属于”作完全肯定或否定的回答，这需要对经典数学上的关系概念进行推广，据此引入模糊关系。下面给出与模糊关系相关的一些定义。（1）集合的笛卡尔积设U=(x)，V=(y)为两个集合，则定义它们的笛卡尔积为UxV=(x,y)]xeu,yel)(7-10)(x,y)是U，V元素间的有序对，为一种无约束有顺序的组合。例如：U=(x,y), V=(1,2,3)U×V= (x,1),(x,2),(x,3),(y,1),(y,2),(y,3)V×U = (1, x),(2,x),(3,x),(1,y),(2, y),(3,y))由此可见，笛卡尔乘积的运算并不满足交换律。（2）关系及其表示设U=（x)，V=y)为两个集合，R为笛卡尔乘积UxV的一个子集，则称其为U×V中的一个关系，关系R代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束，所有关系R的序对(x,Jy)构成了一个R集，即R=((x,y)xeU,yeV,xRy)(7-11)矩阵表示是常用的关系的表示方法。例如对有限集合U=(,2,,x)，V=(y,y,y,y4)，则UxV上的关系，可以用矩阵表示为xx[1010Ji0101J21101y3[1001]J4又如U=（张三，李四，王五），V=（数学，英语，政治），则关系R（选课）可表示为7

7 集有确定边界，并且不再是模糊集合，而是一个确定集合。 7.1.4 模糊关系及模糊矩阵 在模糊模式识别系统中，对象与类别之间的关系不宜用“属于”或“不属于”作完全肯 定或否定的回答，这需要对经典数学上的关系概念进行推广，据此引入模糊关系。下面给出 与模糊关系相关的一些定义。 （1）集合的笛卡尔积 设 U x    ，V y    为两个集合，则定义它们的笛卡尔积为 U V x y x U y V      , ,   （7-10）  x y,  是 U V ， 元素间的有序对，为一种无约束有顺序的组合。 例如： U x y   ,  ，V  1,2,3 U V x x x y y y    ,1 , ,2 ,3 , ,1 ,2 , ,3   ，   ，    V U x x x y y y   1, , 2, 3, , 1, 2, , 3,   ，   ，    由此可见，笛卡尔乘积的运算并不满足交换律。 （2）关系及其表示 设 U x    ，V y    为两个集合， R 为笛卡尔乘积 U V 的一个子集，则称其为 U V 中的一个关系，关系 R 代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束，所有关系 R 的序对  x y,  构成了一个 R 集，即 R x y x U y V xRy     , , ,   （7-11） 矩 阵 表 示 是 常 用 的 关 系 的 表 示 方 法 。 例 如 对 有 限 集 合 U x x x x   1 2 3 4 , , ,  ， V y y y y   1 2 3 4 , , ,  ，则 U V 上的关系，可以用矩阵表示为 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 x x x x y y y y             又如 U ＝{张三，李四，王五}，V ＝{数学，英语，政治}，则关系 R （选课）可表示 为

张三李四王五017数学[101英语11]政治[01（3）模糊关系如关系R是U×V的一个模糊子集，则称R为U×V的一个模糊关系，其隶属度函数记为μr(x,J)，表示x,y具有关系R的程度。对于有限论域U=x,x,",xm)，V={yi,y2,y)，则UxV的模糊关系R可用一个mxn的矩阵来表示[μr(X,y)Hr(x 2y), . μr(xm))HR(X,y)HR(xy..μr(Xmy)R=(7-12):：LAr(X,yn)ur(X,,)...Hr(Xmyn)该矩阵称为模糊矩阵。7.2模糊模式识别方法模糊模式识别是运用模糊数学理论和方法去解决模式分类问题。其基本思路是将模式类别看作模糊集，模式对象看作模糊集的元素，然后采用特征提取或特征变换的方法提取对象的模糊特征，进而建立模糊集的隶属度函数，最后运用模糊数学的有关原理方法进行分类识别。7.2.1最大隶属度识别法(1）形式一设A,A，",A,是U中的n个模糊子集，且对每一A均有隶属度函数μ(x)，x为U中的任一元素，若有隶属度函数(7-13)μ,(x)=max[(xo), 2(x0),, μ,(x0)则xEA若已确定了隶属度函数Ⅱ(x)，把隶属度函数作为判别函数使用即可，因此此法的关键是确定隶属度函数。在此情形下，论域U中的每一个元素，代表了样本的一种取值情况，而集合A代表了不同的类别。（2）形式二设A是U中的一个模糊子集，x，x2…,x为U中的n个元素，若A的隶属度函数中有(7-14)μ(x)=max[u(xo), M2(xo),,μn(xo)则A属于x,对应的类别。这里U中的每一个元素对应了一个类别，A代表一个样本，其隶80

8           0 1 1 1 1 0 1 0 1 政治 英语 数学 张三 李四 王五 （3）模糊关系 如关系 R 是 U V 的一个模糊子集，则称 R 为 U V 的一个模糊关系，其隶属度函数 记为 ( , ) R  x y ，表示 x y, 具有关系 R 的程度。 对于有限论域 U x x x   1 2 , , , m ，V y y y   1 2 , , , n ，则 U V 的模糊关系 R 可用 一个 m n  的矩阵来表示 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) R R R m R R R m R n R n R m n x y x y x y x y x y x y R x y x y x y                       （7-12） 该矩阵称为模糊矩阵。 7.2 模糊模式识别方法 模糊模式识别是运用模糊数学理论和方法去解决模式分类问题。其基本思路是将模式 类别看作模糊集，模式对象看作模糊集的元素，然后采用特征提取或特征变换的方法提取对 象的模糊特征，进而建立模糊集的隶属度函数，最后运用模糊数学的有关原理方法进行分类 识别。 7.2.1 最大隶属度识别法 （1）形式一 设 1 2 , , A A A ， n 是 U 中的 n 个模糊子集， 且对每一 Ai 均有隶属度函数 ( ) i  x ， 0 x 为 U 中的任一元素，若有隶属度函数     i n ( ) max ( ) ( ) ( ) x x x x 0 1 0 2 0 0   ， ， ，  （7-13） 则 0 i x A  若已确定了隶属度函数 ( ) x ，把隶属度函数作为判别函数使用即可，因此此法的关键 是确定隶属度函数。在此情形下，论域 U 中的每一个元素，代表了样本的一种取值情况， 而集合 Ai 代表了不同的类别。 （2）形式二 设 A 是 U 中的一个模糊子集， 1 2 , , n x x x ， 为 U 中的 n 个元素，若 A 的隶属度函数中 有     i k n ( ) max ( ) ( ) ( ) x x x x   1 0 2 0 0 ， ， ，  （7-14） 则 A 属于 k x 对应的类别。这里 U 中的每一个元素对应了一个类别， A 代表一个样本，其隶

属度函数代表了这个样本属于不同类别的程度。该方法不仅能得到样本的分类结果，还可以得到样本与各个类别的相似程度排序7.2.2择近原则识别法（1）贴近度贴近度是两个模糊子集间互相靠近的程度，可以将其引入到模式识别。设A，B为U上的两个模糊子集，它们之间的贴近度定义为E(μua(x)^μg(x)(7-15)α(A,B)=E(ua(x)vμg(x)XEU其中，符号八表示最大，符号V表示最小。理想的贴近度应当具备以下性质a) α(A,A)=1b) α(A,B)=α(B,A)≥0c)若对任意的xeU，有μ(x)≤μg(xμc(x或μ(x)≥μg(x)≥μc(x)，则α(A,C)≤α(B,C)（2）择近原则识别法设U上有n个模糊子集A,A",A,及另一模糊子集B，若贴近度α(B, A)=maxo(B,A,)(7-16)C则称B与A.最贴近，则B属于A.类。在该方法中样本和类都用模糊子集来表示，取值范围U中的每个元素代表了一个特征维度。7.2.3基于模糊等价关系的聚类方法（1）等价关系设R是U={,",x）上一个关系，若满足a）自反性：（x,x)eRb)对称性：若(x,x)=R，则有(x,x)eRc）传递性：若(x,x)eR和(x,x)ER，则有(x,x)eR则称R是U上一个等价关系。9

9 属度函数代表了这个样本属于不同类别的程度。该方法不仅能得到样本的分类结果，还可以 得到样本与各个类别的相似程度排序 7.2.2 择近原则识别法 （1）贴近度 贴近度是两个模糊子集间互相靠近的程度，可以将其引入到模式识别。设 A ，B 为 U 上 的两个模糊子集，它们之间的贴近度定义为       ( ) ( ) , ( ) ( ) A B x U A B x U x x A B x x             （7-15） 其中，符号  表示最大，符号  表示最小。 理想的贴近度应当具备以下性质 a)   A A, 1   b)    A B B A , , 0      c) 若对任意的 x U ，有 ( ) ( ) ( ) A B C  x x x   或 ( ) ( ) ( ) A B C  x x x   ，则    A C B C , ,     （2）择近原则识别法 设 U 上有 n 个模糊子集 1 2 , , A A A ， n 及另一模糊子集 B ，若贴近度     1 , max , i j j n   B A B A    （7-16） 则称 B 与 Ai 最贴近，则 B 属于 Ai 类。在该方法中样本和类都用模糊子集来表示，取值范围 U 中的每个元素代表了一个特征维度。 7.2.3 基于模糊等价关系的聚类方法 （1）等价关系 设 R 是 1 2 { , , } U x x x  ， n 上一个关系，若满足 a）自反性：  x x R ,  b）对称性： 若  x x R i j ,  ，则有  x x R j i ,  c）传递性：若  x x R i j ,  和  x x R j k ,  ，则有  x x R i k ,  则称 R 是 U 上一个等价关系

等价关系定义了“等价”的概念，当U上有一个等价关系R时，并不是U中所有元素都有等价关系，而是U中的元素可以按等价关系分成若干类。（2）模糊等价关系设R是U=，，x上一个模糊关系，若满足(a）自反性：μr(x,x)=1(b）对称性：μr(X,x,)=μr(x,x)(c）传递性：对于任意xU，有μ(x,x)≥(r(x,)μr(x,x）)则称R是U上一个模糊等价关系。模糊等价关系具有传递闭包性，R的传递闭包记为t(R)。不具有传递性的模糊关系称为模糊相似关系，可通过求R，R2，R*，R"...R2".….来获得一个逼近模糊等价关系的模糊关系。当第一次出现R。R*=R，那么R*就是传递闭包t(R)。（3）等价关系定理若R是U上的一个模糊等价关系。则对任意阅值2（0≤入≤1），则水平截集R也是U上的一个等价关系。（4）基于模糊等价关系的聚类利用等价关系定理，已知样本集U上的模糊等价关系R，则可通过R的不同入水平截集得到多种等价类划分，也就实现了样本集在不同隶属度要求下的聚类。7.2.4模糊k-均值聚类模糊k-均值聚类（FCM，FussyC-Means）最早由Dunn提出，后由Bezkek于1981年进行了扩展和总结，它推广了精确K-均值聚类算法，引入模糊集作为分类结果，得到了非常广泛的应用。在k-均值聚类算法中，每一次选代的聚类结果可以用k行n列的矩阵U来表示贝0限00001...1U=ks：:L010...0其中，n表示整个样本集中的样本个数，k表示类别数，μ的值表示第j个样本是否属于第i类，属于则μ=1，否则"=0。如果采用模糊集合的概念，在每次送代中某个样本不是确定地属于某一个类，而是在不同程度上属于不同的类。此时每个类别均是一个模糊子集，而分类矩阵U可以表示为10

10 等价关系定义了“等价”的概念，当 U 上有一个等价关系 R 时，并不是 U 中所有元素都 有等价关系，而是 U 中的元素可以按等价关系分成若干类。 （2）模糊等价关系 设 R 是 1 2 { , , } U x x x  ， n 上一个模糊关系，若满足 （a）自反性：  R  x x, =1  （b）对称性：   R i j R j i  x x x x , = ,    （c）传递性： 对于任意 j x U ，有        1 , , , n R i k R i j R j k k    x x x x x x     则称 R 是 U 上一个模糊等价关系。模糊等价关系具有传递闭包性， R 的传递闭包记为 t R( ) 。不具有传递性的模糊关系称为模糊相似关系，可通过求 R ， 2 R ， 4 R ， 8 2i R R 来获得一个逼近模糊等价关系的模糊关系。当第一次出现 k k k R R R  ，那么 k R 就是传递 闭包 t R( ) 。 （3）等价关系定理 若 R 是 U 上的一个模糊等价关系。则对任意阈值   （0 1   ），则水平截集 R 也是 U 上的一个等价关系。 （4）基于模糊等价关系的聚类 利用等价关系定理，已知样本集 U 上的模糊等价关系 R ，则可通过 R 的不同  水平截 集得到多种等价类划分，也就实现了样本集在不同隶属度要求下的聚类。 7.2.4 模糊 k-均值聚类 模糊 k-均值聚类（FCM，Fussy C-Means）最早由 Dunn 提出，后由 Bezkek 于 1981 年 进行了扩展和总结，它推广了精确 k-均值聚类算法，引入模糊集作为分类结果，得到了非常 广泛的应用。 在 k -均值聚类算法中，每一次迭代的聚类结果可以用 k 行 n 列的矩阵 U 来表示          n U k                     0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 其中，n 表示整个样本集中的样本个数， k 表示类别数， ij 的值表示第 j 个样本是否属于 第 i 类，属于则 1 ij  ，否则 0 ij  。 如果采用模糊集合的概念，在每次迭代中某个样本不是确定地属于某一个类，而是在不 同程度上属于不同的类。此时每个类别均是一个模糊子集，而分类矩阵 U 可以表示为