上海交通大学：《现代控制理论基础》课程教学资源（课件讲稿）第三章 系统的稳定性

第三章 系统的稳定性

第三章 系统的稳定性

(1)系统分析 ·定量分析：求解系统的状态状态方程 ·定性分析：系统的性质及与系统结构参数之间的关系。 包括系统的稳定性 系统的能控性和能观性 (2)系统的稳定性 实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的 系统稳定性有两种 ·内部稳定性：对应于系统的内部描述 是系统的状态的稳定性 ·外部稳定性：对应于系统的外部部描述 是系统输出对输入的稳定性 两种稳定性既有区别，又有内在的联系

⑴ 系统分析 定量分析：求解系统的状态状态方程 定性分析：系统的性质及与系统结构参数之间的关系。 包括 系统的稳定性 系统的能控性和能观性 实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的 • 系统稳定性有两种 内部稳定性：对应于系统的内部描述 是系统的状态的稳定性 外部稳定性：对应于系统的外部部描述 是系统输出对输入的稳定性 两种稳定性既有区别，又有内在的联系 ⑵ 系统的稳定性 • • •

(3)本章内容 ●稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性 内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫稳定性 内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据 ●李雅普诺夫稳定性理论和方法 适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据 李雅普诺夫方程稳定性判据

⑶ 本章内容 • 稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性 内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫稳定性 内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据 李雅普诺夫稳定性理论和方法 适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据 李雅普诺夫方程稳定性判据 •

3.1线性系统的外部稳定性 线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系 统输入输出描述的稳定性。是有界输入有界输出稳定性，简 称为BIBO稳定性。 定义3一1考虑线性零初态的系统，如果由一个有界输入() u()≤um<o 对所有的t≥1， 所产生的输出y0)也是有界的，即 IJy)≤ym<o 对所有的t≥1， 则称系统是BIBO稳定的。 BIB0稳定必须假定系统是零初始条件的（(O)=0),因为系 统的输入输出描述是在此假定下才有意义

3.1 线性系统的外部稳定性 线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系 统输入输出描述的稳定性 。是有界输入有界输出稳定性，简 称为 稳定性。 定义3－1 考虑线性零初态的系统，如果由一个有界输入 u ( t ) 0 t t ≥ 所产生的输出 也是有界的，即 y(t) 对所有的 0 对所有的 t t ≥ 则称系统是 稳定的。 稳定必须假定系统是零初始条件的（ ），因为系 统的输入输出描述是在此假定下才有意义。 BIBO BIBO BIBO u (t) ≤ u m < ∞ y (t) ≤ y m < ∞ x(0) = 0

3.1.1单变量线性系统的BIBO稳定性判据 (1)脉冲响应函数判据 定理3一1线性系统的输入输出描述是 y()=g(t)u(t-t)dr 1 则系统是BIBO稳定的充分必要条件是 lgt,rldr≤M<oo -2) 式中，M是一个有限常数。 证明充分性：由式(3-1)，有 =8(u(-r)drsfdr ≤ug(,trldr≤unM 所以，系统的输出是有界的

3.1.1 单变量线性系统的 稳定性判据 ⑴ 脉冲响应函数判据 定理3－1 线性系统的输入输出描述是 = ∫ − tt y t g t u t d 0 ( ) ( ,τ ) ( τ ) τ 则系统是 稳定的充分必要条件是 ∫ g t d ≤ M < ∞ tt0 ( ,τ ) τ 式中， 是一个有限常数。 M 证明 充分性：由式（3－1），有 ∫ ∫ ∫ ≤ ≤ = − ≤ − t m t m t t t t u g t d u M y t g t u t d g t u t d 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) τ τ τ τ τ τ τ τ 所以，系统的输出是有界的 （3－1） （3－2） BIBO BIBO

必要性：如果：不是绝对可积的，则系统不是 BIBO 稳定的。 反证法 假设在某个时刻4≥，使 g(1.dr= 取输入 t-={ 当g(t,t)≥0 当g(t,x)<0 输入)是有界的，但是 ()=g(Iu(-r)dr=g()dr= 输出)是无界的，系统不是BIBO稳定的。 证毕 定理3一2对线性定常系统取0=0，则其BIBO稳定的充分必 要条件是 6lg)dr≤M<o

反证法 假设在某个时刻 ，使 1 0 t ≥ t ∫ = ∞ 10 , ) tt g（t τ dτ 取输入 ⎩⎨⎧ − <≥ − = 1 ( , ) 0 1 ( , ) 0 ( ) ττ τ g t g t u t 当当 输入 是有界的，但是 u(t) = ∫ − = ∫ = ∞ 10 10 ( ) ( , ) ( ) ( , ) tt tt y t g t τ u t τ dτ g t τ dτ 输出 是无界的，系统不是 稳定的。 y(t) 定理3－2 对线性定常系统取 ，则其 稳定的充分必 要条件是 t0 = 0 ∫ g t d ≤ M < ∞ t0 ( ) τ 证毕 必要性：如果 不是绝对可积的，则系统不是 稳定的。 g（t,τ ) BIBO BIBO BIBO

(2)传递函数判据 定理3一3如果单变量线性定常系统的传递函数gs是正则（或 严格正则)有理函数，则其BIBO稳定的充分必要条件为：gs) 的所有极点都具有负实部。 证明：若是正则有理函数，假定的p,是m,重极点，则通过部 分分式展开后，必定包含因子 1 s-p's-p,)2’“6-p,)m 它们的拉氏反变换，或系统的单位脉冲响应响应地包含有下 列因子 ePW,tePm,…,tm-eP 上列因子绝对可积的充分必要条件是”，具有负实部，即系统 是BIBO稳定的。 证毕

⑵ 传递函数判据 定理3－3 如果单变量线性定常系统的传递函数 是正则(或 严格正则)有理函数，则其 稳定的充分必要条件为： 的所有极点都具有负实部。 g(s) g(s) 证明：若是正则有理函数，假定的 是 重极点，则通过部 分分式展开后，必定包含因子 i p mi mi i i i s p s p (s p ) 1 , , ( ) 1 , 1 2 − − − L 上列因子绝对可积的充分必要条件是 具有负实部，即系统 是 稳定的。 证毕 i p 它们的拉氏反变换，或系统的单位脉冲响应响应地包含有下 列因子 p t p t m p t i i i e te t e1 , , , L − BIBO BIBO

3-1-2多变量线性系统的BIBO稳定性判据 将单变量系统的BIBO稳定性条件推广到多变量系统： (1)脉冲响应函数判据 定理3一4线性时变多变量系统BBO稳定的充分必要条件是： 其单位脉冲响应阵G,)的每一个元81，)在，∞)范围内是绝对 可积的。（证略) 定理3一5若线性定常多变量系统是零初始条件的，并取，=0， 则系统BIBO稳定的充分必要条件是：其单位脉冲响应阵G) 的每一个元80，∞)范围内是绝对可积的。（证略） (2)传递函数判据 ●定理3一6对线性定常多变量系统，如果其传递函数阵G)是正 则有理函数阵，BIBO稳定的充分必要条件是：G(s)每一个元8(s) 的极，点（也是Gs)的极点)都具有负实部

3-1-2 多变量线性系统的 稳定性判据 将单变量系统的 稳定性条件推广到多变量系统： ⑴ 脉冲响应函数判据 定理3－4 线性时变多变量系统 稳定的充分必要条件是： 其单位脉冲响应阵 的每一个元 在 范围内是绝对 可积的。(证略) 定理3－5 若线性定常多变量系统是零初始条件的，并取 ， 则系统 稳定的充分必要条件是：其单位脉冲响应阵 的每一个元 在 范围内是绝对可积的。(证略) G(t,τ ) g t,τ ) ij（ [ , ) t 0 ∞ 0 t 0 = G(t) g (t) ij [ , ) t 0 ∞ ⑵ 传递函数判据 定理3－6 对线性定常多变量系统，如果其传递函数阵 是正 则有理函数阵， 稳定的充分必要条件是： 每一个元 的极点（也是 的极点）都具有负实部。 G(s) g (s) ij G(s) G(s) • BIBO BIBO BIBO BIBO BIBO

BIBO稳定的特征值判据（充分条件） 线性定常系统的状态空间描述是 (t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 则系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-A)B+D= Cadi(sI-A)B (3-3) det(sI-A) G(s)的极，点必是A的特征值。 如果A的所有特征值具有负实部，则G(s)的所有极，点必定具 有负实部，则系统是BIBO稳定的。 这只是充分条件，而不是必要条件。因为如果Cad(sl-A①B与 dt(s-A)有公因子，即使公因子中包含有零或正实部，系统 也是BIBO稳定的

线性定常系统的状态空间描述是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t y Cx Du x Ax Bu = + & = + C I - A B I A G C I A B D ( ) det( ) 1 ( ) ( ) 1 adj s s s s − = − + = − 则系统的传递函数阵为 如果 的所有特征值具有负实部，则 的所有极点必定具 有负实部，则系统是 稳定的。 G(s)的极点必是 的特征值。 A G ( s ) A 这只是充分条件，而不是必要条件。因为如果 与 有公因子，即使公因子中包含有零或正实部，系统 也是 稳定的。 Cadj ( sI − A ) B det( sI − A ) • 稳定的特征值判据（充分条件） BIBO BIBO BIBO （3－3）

例3-1设系统的状态空间描述为 -101.「11 25r+0 y=[1 1] 的特征值为-1与2.5，不全为负实部。而其传递函数为 8(s)=c(l-A)b= (s-2.5) 1 (s+1)(s-2.5)(s+1) gs)的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点-1，所以系 统是BIBO稳定的

例 3-1 设系统的状态空间描述为 [ ]x x x 1 1 0 1 0 2.5 1 0 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥ + ⎦⎤ ⎢⎣⎡− = y & u 的特征值为 -1与2.5，不全为负实部。而其传递函数为 ( 1) 1 ( 1)( 2.5) ( 2.5) ( ) ( ) 1 + = + − − = − = − s s s s g s c sI A b 的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点 -1，所以系 统是 稳定的。 g(s) BIBO