上海交通大学：《现代控制理论基础》课程教学资源（课件讲稿）第二章 线性系统的状态响应和输出响应

第二章 线性系统的 状态响应和输出响应

第二章 线性系统的 状态响应和输出响应

系统的分析：定量分析和定性分析。 定量分析是用解析的方法求解系统在确定的输入的 激励下，其状态及输出的响应。即通过求解系统的 状态方程，精确求取系统的运动规律。 定性分析则是研究系统的一些重要特性，如稳定性、 能控性、能观性及其与系统结构参数之间的关系。 系统的运动实际上是状态的转移，状态转移规律可 以用系统的状态转移矩阵来表征。状态转移矩阵的 概念及其计算是研究系统运动规律的基本内容

定量分析是用解析的方法求解系统在确定的输入的 激励下，其状态及输出的响应。即通过求解系统的 状态方程，精确求取系统的运动规律 。 系统的运动实际上是状态的转移，状态转移规律可 以用系统的状态转移矩阵来表征。状态转移矩阵的 概念及其计算是研究系统运动规律的基本内容。 定性分析则是研究系统的一些重要特性，如稳定性、 能控性、能观性及其与系统结构参数之间的关系。 系统的分析：定量分析和定性分析

本章主要内容： 线性系统的状态转移矩阵及其性质 线性系统的状态响应 一零状态响应和零输入响应 线性系统的输出响应 线性定常系统的响应 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法 系统等价变换对响应的影响 线性离散系统的状态空间描述及响应

本章主要内容： 线性系统的状态转移矩阵及其性质 线性系统的状态响应 ——零状态响应和零输入响应 线性系统的输出响应 线性定常系统的响应 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法 系统等价变换对响应的影响 线性离散系统的状态空间描述及响应

2.1线性系统响应的特，点 2.1.1问题的提出 线性系统： =A(t)x+B(t)u y=C(t)x+D(t)u (2-1) x(to)=xo,t≥to 线性定常系统，： 文=Ax+Bu y=Cx+Du (2-2) x(to)=xo,t≥to 求解问题是： 求解 求解 给定x0,u()〉x(0),t≥t。〉 y(t)、 t≥to ·A,B0,0是连续函数或是常数阵： → 状态方程是一阶线性微分方程组，有唯一解 实际的控制系统均满足这一条件

2.1 线性系统响应的特点 2.1.1 问题的提出 0 0 0 ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t = ≥ = + = + x x y C x D u 线性系统 Σ : x& A x B u 线性定常系统 0 0 0 (t ) = , t ≥ t = + = + x x y Cx Du Σ f : x& Ax Bu 求解问题是： 状态方程是一阶线性微分方程组,有唯一解 A (t), B (t), u (t)是连续函数或是常数阵 ⇒ • • 实际的控制系统均满足这一条件。 求解 求解 （2－1） （2－2） 给定 ， ， ， 0 x u ( t ) x ( t ) 0 t ≥ t y ( t ) 0 → → t ≥ t

2.1.2线性系统响应的特，点 系统状态方程的解可看成分别由初始状态x(o)=x,和输 入①产生的响应线形叠加而成： (1)零输入响应：是齐次方程 文=A(t)x, x(to)=xo,t≥to (2-3) 的解，称为系统的零输入响应，记以p(t,t。x,0) 它是系统在初始状态x()=x作用下产生的自由运动。 (2)零状态响应：是在零初始状态条件下非齐次方程 x=A(t)x+Bu,x(to)=0,tto (2-4) 的解，称为系统的零状态响应，记以p(t0,四。 它是系统在输入)作用下产生的强迫运动

2.1.2 线性系统响应的特点 系统状态方程的解可看成分别由初始状态 和输 入 产生的响应线形叠加而成： 0 0 x ( t ) = x u ( t ) ⑴ 零输入响应：是齐次方程 的解，称为系统的零输入响应，记以 。 它是系统在初始状态 作用下产生的自由运动。 0 0 0 x& = A (t)x, x (t ) = x , t ≥ t ( ; , ) 0, φ x 0 0 t t 0 0 x ( t ) = x ⑵ 零状态响应：是在零初始状态条件下非齐次方程 的解，称为系统的零状态响应，记以 。 0 0 x& = A ( t ) x + Bu, x ( t ) = 0, t ≥ t ( ; , ) φ t t 0,0 u 它是系统在输入 作用下产生的强迫运动。 u ( t ) （2－3） （2－4）

(3)系统状态方程的总解p(t,txo,m) 系统对初始状态x()=x和输入()的响应，即 方程的总解是p(t.x,0)和pt,0,w)的线性叠加： p(t;to.xo,u)=o(t;to.xo,0)+o(t;to.0,u) (2-5)

⑶系统状态方程的总解 系统对初始状态 和输入 的响应，即 方程的总解是 和 的线性叠加： 0 0 x ( t ) = x u ( t ) ( ; , ) 0, φ x 0 0 t t ( ; , ) φ t t 0,0 u ( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) φ t t 0, x 0 u = φ t t 0, x 0 0 + φ t t 0,0 u （2－5） ( ; , ) φ t t 0, x 0 u

2.2线性定常系统的状态响应 2.2.1线性定常系统状态方程的解 线性定常系统 (t)=Ax(t)+Bu(t) (2-6) 类比标量一阶微分方程()=ar()+bu)的解 x(t)=ex()+ebut)dr (2-7) 并且 。-1u++…含n (2-8) 式（2一6)的解具有类似的形式 x(t)=ex(to)+Bu(r)dr (2-9) 类似于式(2一8)，定义 e=1++分+-知材 (2-10)

2.2 线性定常系统的状态响应 2.2.1 线性定常系统状态方程的解 线性定常系统 x&( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) 类比标量一阶微分方程 的解 x&( t ) = ax ( t ) + bu ( t ) τ τ τ x t e x t e bu d t t a t t a t ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) = + ∫ − − 并且 = + + + = ∑ ∞ = 0 2 2 ! 1 2! 1 1 k at k k a t k e at a t L （2－6） 式（2－6）的解具有类似的形式 τ τ τ t e t e d t t t t t ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) x x Bu A A = + ∫ − − （2－9） （2－8） （2－7） 类似于式（2－8），定义 = + + + = ∑ ∞ = 0 2 2 ! 1 2! 1 1 k t k k t k e At A t A A L （2－10）

式(2一10)表明：e是n×n方阵，并且是时间 1的函数，它描述了由初始状态引起的状态转移 过程。当t=0时，ei=I,它为单位阵，表示状 态没有转移。 线性定常系统的响应特性与初始时刻的选择无关， 通常选t0=0,则 x(t)=e4x(0)+eA(Bu(r)dr (2-11) 式中，第一项是零输入响应 p(t,0,0,0)=ex(0) (2-12) 第二项是零状态响应 (t:0.0,u)=eBu(t)dr (2-13)

式（2－10）表明： 是 方阵，并且是时间 的函数，它描述了由初始状态引起的状态转移 过程。当 时， ，它为单位阵，表示状 态没有转移。 t e A n × n t t = 0 I A =t e 线性定常系统的响应特性与初始时刻的选择无关， 通常选 ，则 t 0 = 0 τ τ τ t e e d t t t ( ) ( 0 ) ( ) 0 ( ) x x Bu A A = + ∫ − （2－11） 式中，第一项是零输入响应 ( ;0, x ,0 ) x ( 0 ) A 0 t ϕ t = e （2－12） 第二项是零状态响应 ϕ τ τ τ t e d t t ( ;0, , ) ( ) 0 ( ) 0 u Bu A = ∫ − （2－13）

2.2.2线性定常系统的状态转移矩阵 1、状态转移矩阵 系统（2一6)的零输入响应就是齐次方程x=Ax 对任意初始状态x(0)的解 x(t)=p(t,0,xo,0)=e4"x(0) 它描述了系统在初始状态作用下的自由运动的规律： 系统状态由x(0)转移到x()的运动规律，它完全由 e"决定，所以将e:定义为线性定常系统的状态 转移矩阵，记为(t,to)或(t-o),其中t0是状态转 移的初始时刻，对线性定常系统通常选to=0,则 其状态转移矩阵为(t,0)或() Φ(t,0)=Φ(t=e (2-14)

2.2.2 线性定常系统的状态转移矩阵 1、状态转移矩阵 系统（2－6）的零输入响应就是齐次方程 对任意初始状态 的解。 x& = Ax x ( 0 ) ( ) ( ;0, , ) ( 0 ) x x 0 0 x At t = ϕ t = e 它描述了系统在初始状态作用下的自由运动的规律： 系统状态由 转移到 的运动规律，它完全由 决定，所以将 定义为线性定常系统的状态 转移矩阵，记为 或 ，其中 是状态转 移的初始时刻，对线性定常系统通常选 ，则 其状态转移矩阵为 或 x ( 0 ) x ( t ) t e A t e A ( ) 0 Φ t,t ( ) 0 Φ t − t 0 t 0 t 0 = Φ (t, 0 ) Φ ( t ) t t t e A Φ ( ,0 ) = Φ ( ) = （2－14）

式（2-一14)说明：系统的状态转移矩阵由系统的 状态矩阵A唯一决定。 2、状态转移矩阵的性质 由式(2一10)，状态转移矩阵e具有如下性质。 (1)eA"是n维的非奇异阵，其逆阵 (e4)-1 =e-4r (2-15) (2)de=ed=eA dt (2-16) e"=怎小(A=eA (3)eA-0=er.et=e°=I (2-17) eA-)的意义是系统状态没有转移

式（2－14）说明：系统的状态转移矩阵由系统的 状态矩阵 唯一决定。 A 2、状态转移矩阵的性质 I A At A 0 = ⋅ = = − − e e e e (t t) t 由式（2－10），状态转移矩阵 具有如下性质。 t e A ⑴ e A t 是 维的非奇异阵，其逆阵 n ⑵ Ae A At At At e e dt d = = A A A A A A At k k k k t k k t e k t k e dt d ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ∑ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∞ = ∞ = 0 0 ! 1 ! 1 （2－16） t t e e A − − A =1 ( ) （2－15） ⑶ （2－17） e A ( t − t ) 的意义是系统状态没有转移