黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限（1.8）无穷小的比较

第八节无穷小的比较 无穷小的比较 巴二、等价无穷小替换 小结思考题

、无穷小的比较 例如,当x→0时 2 2 , x,t,sin x,r sin 都是无穷小 lim -=0 x→03x x比3x要快得多; 观察各极限 SIn lim sinx与x大致相同 工工工 x→0x sin- )mx= lim sin:不存在.不可比 x→>0 0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不 同 上页 圆

一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在. 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0

定义:设aB是同一过程中的两个无穷小,且α≠0 (1)如果limP=0,就说β是比a高阶的无穷小, 记作β=0(0x); 王(2)如果mn9=∞,就说B是比低阶的无小 c 工工工 (3)如果limP=C≠0,就说β与a是同阶的无穷小 特殊地,如果im=1,则称β与a是等价的无穷小 c 记作a~B 上页

记作 ； 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小 ( ) (1) lim 0 ,  =  =     o 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且  0. (3) 如果 lim =  0,就说  与  是同阶的无穷小;   C ~ ; lim 1, ;   =     记作 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 ２ 如果 = ，就说  是比  低阶的无穷小．   ( ) lim

(4)如果lmP=C≠0,k>0就说β是a的k阶的 无穷小 王例如, 々十 =0, x→>03y 即x2=0(3x)(x→0) 当x→0时,x2是比3x高阶的无穷小; lim ix=1, x→>0y 即sinx~x(x→0) 当x→>0时,sinx与x是等价无穷小 上页

. (4) lim 0, 0, 无穷小 如果 k = C  k  就说  是  的 k 阶的   0， 3 lim 2 0 = → x x x  1， sin lim 0 = → x x x  0 3 ;  当 x → 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 (3 ) ( 0). 即 x 2 = o x x →  当 x → 0时，sin x 与 x 是等价无穷小． 即sin x ~ x (x → 0). 例如

例1证明:当x→0时,tanx-sinx为x的三阶无穷小 tanr-sin x 解∵:lin x→>0 3 1 sin x 1-cos x lim( x→>0 cosr x 2 lin sinx 1-cosx 1 lim lim x+0 cosx x+0 xx+0 x2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小 上页

例 1 证明:当x → 0时,tan x − sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin lim xx x x − →  ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x − =   → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x − =   → → →

定理1β与α是等价无穷小的的充分必要条件 为β=a+0(a).称a是β的主要部分 证必要性设a~β, lin limB_1=0, β-=0(),即β=a+0(a) 充分性设β=a+0() Im =lim a+o(0)=lim( 1 o(a) a)) =1 0~β 王页下

为 称 是 的主要部分． 定 理 与 是等价无穷小的的充分必要条件  =  +      ( ). 1 o 证 必要性 设  ~ ， lim lim − 1   =   −  = 0，   −  = o()，即 =  + o()． 充分性 设  =  + o()．   +  =   ( ) lim lim o （１＋ ）   = ( ) lim o = 1，   ~ ．

意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达 例如,当x→时,如x~x,1-cr~1 式 2 sinx=x +o(x), 1-cosx=x +o(x) 2 y=1-+cosx 王常用等价无穷小当x→0时, x sinx tanx arcsin x arctan In(1+x) x e-l, 1-cosxvx,(1+x)1ax(a#0) 王页下

意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达 式． 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x 当x → 0时, y = 1 − cos x 2 2 1 y = x 常用等价无穷小: 当x → 0时, , (1 ) 1 ~ ( 0) 2 1 ~ 1, 1 cos ~ ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1 ) 2 − − + −  + x e x x x ax a x x x x x x x a . 2 1 sin ~ , 1 cos ~ 2 x x − x x

例2求mx-1 x→>0X 解令ex-1=u,即x=ln(1+u 则当x→0时,有u→>0, lim e0X a→0ln(1+u)"->0 In(1+u) 1 ne imln(1+u)“ →>0 即,当x→>0时,x~ln(1+x),x~ex-1

例２解 ln(1 ) lim 1 lim0 0 u u x e u x x + = − → →  . 1 lim0 x e x x − → 求 e 1 u, x 令 − = 即 x = ln( 1 + u), 则当 x → 0时,有 u → 0, u u u 1 0 ln( 1 ) 1 lim + = → u u u 1 0 limln( 1 ) 1 + = → ln e 1 = = 1 . → 0 ~ ln(1 + ), ~ − 1. x 即，当 x 时，x x x e

二、等价无穷小代换 定理2(等价无穷小代换定理) 设a~a,B~B且lmnB存在,则mnB=mnB 中证limP=lim( β.β′.a CC 工工 =lim.lim lim -=lim β c 上页

二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) ~ , ~ lim , lim lim .   =     设    且 存 在 则 证   lim lim( )         =         = lim lim lim lim .   =

tan 2x 例3求lm x-0 1-cos x 解当x→0时,1-c、、x,tan2x~2x. 2 原式=im(2x) =8. x→0 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则 c可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 王穷小代换,而不会改变原式的极限 上页

例３ . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x − 求 → 解 , tan2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8. 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．