湘潭大学：《数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 参数估计（3.2）点估计量的求法

§3.2点估计量的求法 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §3. 2 点估计量的求法

二、寻求估计量的方法 矩估计法 2.极大似然法 3最小二乘法 4.贝叶斯方法 这里我们主要介绍前面两种方法 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 二、寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 …… 这里我们主要介绍前面两种方法

1.矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 是英国统计学家K皮尔逊最早提出的 其基本思想是用样本矩估计总体矩 理论依据:大数定律 或格列汶科定理(见教材177页) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 1. 矩估计法 其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 或格列汶科定理（见教材177页） 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法. 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的. 大数定律

记总体k阶矩为k=E(X) 样本阶矩为A=∑X 记总体阶中心矩为v=EX-E(X) 样本阶中心矩为B=∑(X1-X)4 用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法 就称为矩估计法 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 记总体k阶矩为 ( ) k k = E X 样本k阶矩为 = = n i k k Xi n A 1 1 用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法 就称为矩估计法. 记总体k阶中心矩为 k  k = E[X − E(X)] 样本k阶中心矩为 = = − n i k k Xi X n B 1 ( ) 1

设总体的分布函数中含有k个未知参数 a1…,4,那么它的前阶矩A…k一般 都是这k个参数的函数记为: 1=8(61,…,)i=1,2, 从这k个方程中解出 0,=k(A,…,4)厂=1,2…,k 那么用诸的估计量A分别代替上式 中的诸即可得诸6;的矩估计量: 6=h(A,…,A)j=1,2… 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 设总体的分布函数中含有k个未知参数   k , , 1  都是这k个参数的函数,记为：  k , , ,那么它的前k阶矩 1  一般 ( , , ) i = gi 1   k i=1,2,…,k 从这k个方程中解出 j=1,2,…,k 那么用诸 的估计量 Ai分别代替上式 中的诸 , 即可得诸 的矩估计量 ：  i  i  j ( , , )  j = hj 1  k ( , , ) ˆ  j = hj A1  Ak j=1,2,…,k

例2设总体X的概率密度为 (a+1)x2,0-1 f(x) 0 其它 是未知参数, X1X2…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计 解:出=E(X)=x(+1)xd 数学期望 是一阶 (a+1)x a+1 a+1 原点矩 由矩法, a+2 4+1 总体矩 样本矩 c+2 从中解得a2X-1即为的矩估计 湘大学数学与计算科学院国6/

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 解: E X x x dx   ( ) ( 1) 1 0 1 = = +  2 1 ( 1) 1 1 0 + + = + = +      x dx 由矩法, 2 1 + + =   X 样本矩 总体矩 从中解得 , 1 2 1 ˆ X X − −  = 即为  的矩估计. 数学期望 是一阶 原点矩 例2 设总体X的概率密度为    +   = 0, 其它 ( 1) , 0 1 ( ) x x f x   是未知参数, 其中   −1 X1 ,X2 ,…,Xn是取自X的样本,求参数  的矩估计

例3设X12,…X是取自总体X的一个样本 X~f(x)=1 1(x-),x≥0,p为未知参数 其它 其中>0,求日,的矩估计 解:由密度函数知 X-p具有均值为的指数分布 故E(X)=6 E(X)=+6 DX-p)乙2即D(x) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 解:由密度函数知 例3 设X1 ,X2 ,…Xn是取自总体X的一个样本 为未知参数 其它       , 0, , 1 ~ ( ) ( )      = − − e x X f x x 其中  >0,求  ,  的矩估计. X −  具有均值为  的指数分布 故 E(X- )=   2 D(X- )=  即 E(X)=  + 2 D(X)= 

E(=u+6 D(X)=02 用样本矩估计 总体矩 令+6=X 2=∑(X1-X)2 解得=xX1(x-X)1B即为参数 ,O的矩估计 0=1(X-x) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8  ˆ = X − = = − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 ˆ  解得 = − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 令  + = X = = − n i Xi X n 1 2 2 ( ) 1  用样本矩估计 总体矩 即 E(X)=  + 2 D(X)=  , . ˆ ˆ, 的矩估计 即为参数    

矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 缺点是,当总体类型已知时,没有 充分利用分布提供的信息.一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 其主要原因在于建立矩法方程时, 选取那些总体矩用相应样本矩代替带 有一定的随意性 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程时， 选取那些总体矩用相应样本矩代替带 有一定的随意性

2极大似然法 是在总体类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的, 然而,这个方法常归功于 auss 英国统计学家费歇 费歇在192年重新发现了 这一方法,并首先研究了这 种方法的一些性质 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 2. 极大似然法 是在总体类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 . 它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , Gauss Fisher 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇. 费歇在1922年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质