湘潭大学：《数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章（8.1）多元正态分布参数的估计与假设检验

§8.1多元正态分布参数的估计与 假设检验 在多元统计分析中,多元正态分布占有相当重要 的地位。这是因为,许多随机向量服从正态分布, 或近似服从正态分布,而且目前对于多元正态分 布已有一整套统计推断方法,并且得到了许多满 意的结果。下面介绍多元正态总休参数的统计推 断问题。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §8.1 多元正态分布参数的估计与 假设检验 在多元统计分析中，多元正态分布占有相当重要 的地位。这是因为，许多随机向量服从正态分布， 或近似服从正态分布，而且目前对于多元正态分 布已有一整套统计推断方法，并且得到了许多满 意的结果。下面介绍多元正态总休参数的统计推 断问题

多元正态分布参数的估计 在工程实际中,多元正态分布N(p,∑)的参数和 ∑常常是未知的,需要通过样本来估计。 设随机向量X服从维正态分布N(,∑,(X1,X2,…,X,) 为来自X的样本(n>p),在此每个X都为维随机向量 i=1,2,…,n)。令 ∑x (8.1) S=∑(X-X)(X-X),(82) 称X为样本均值向量,S为样本离差阵。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 一、多元正态分布参数的估计 在工程实际中，多元正态分布N(,) 的参数 和 常常是未知的，需要通过样本来估计。 设随机向量X 服从p 维正态分布 (,), N p ( , , , ) X1 X2  Xn 为来自X 的样本(n  p)，在此每个Xi都为p 维随机向量 (i = 1,2,,n)。 令 = = n i Xi n X 1 1 ， （8.1） = = − − n k S Xk X Xk X 1 ( )( )， （8.2） 称X 为样本均值向量，S为样本离差阵

若令x为样品X的观察值(=1,2,…,n),则与的 观察值分别为 x=∑x,s=∑(x4-x)(x,-x) k=1 定理81若(X1,…,X)为来自总体Y的样本 X~N(,∑),∑>0,则X与分别是和∑的最大似然 n S 估计量,即A=X,2=。而和的最大似然估计值分 别为x=∑x,与=∑(x x(x-x k n 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 若令xi 为样品Xi 的观察值(i = 1,2,,n)，则X 与S 的 观察值分别为   = = = = − − n i n k xi s xk x xk x n x 1 1 , ( )( ) 1 。 定理 8.1 若( , , ) X1  Xn 为来自总体X 的样本， X ~ N p (,),  0，则X 与n S 分别是 和 的最大似然 估计量，即 n S = X  = ˆ ˆ , 。而 和 的最大似然估计值分 别为 = = n i xi n x 1 1 与 = = − − n k xk x xk x n n s 1 ( )( ) 1

定理82若(X1,X2,…,X)是来自维正态 总体N(p,∑)的样本,∑>0则与S/n-1)分别 是和∑的最小方差无偏估计量,而与S/(n-1) 分别是和∑的最小方差无偏估计值 以上两个定理的证明可参阅《概论论》(复旦 大学,人民教育出版社,1983,第二册第二分 册)。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 定理 8.2 若( , , , ) X1 X2  Xn 是来自p 维正态 总体 (,) N p 的样本，  0则X 与S /(n − 1)分别 是和的最小方差无偏估计量，而x 与S /(n − 1) 分别是 和的最小方差无偏估计值。 以上两个定理的证明可参阅《概论论》（复旦 大学，人民教育出版社，1983，第二册第二分 册）

定理83若(X1…,X,)为取自维正态总体N(,∑)的 样本,X,S分别由式(8.1)和式(82)给出,则 ①X服从正态分布N(p,∑) ②存在相互独立的维正态量 19n-15i N(0,∑),=1,2,…,n 使S可表为 s=∑ (8.3) ③X与相互独立 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 定理 8.3 若( , , ) X1  Xn 为取自p 维正态总体 (,) N p 的 样本，X ，S 分别由式（8.1）和式（8.2）给出，则 ①X 服从正态分布 ) 1 ( ,  n N p  ； ②存在相互独立的p 维正态量 Y1 ,,Yn−1 ,Yi ~ N(0,), i = 1,2,,n − 1， 使S 可表为  − = = 1 1 n i T S YiYi ； （8.3） ③X 与S 相互独立

例8.1已知X=(X1,X2)服从正态分布N2(A,),今从 中抽取容量为20的一个样本,得样本值(见表8.1)。 表8.1样本值表 序号1 2 6 8 9 10 63 70 65 10 12 20 30 971892112582931112162321315375 序号1112 13 1415 16 17 18 19 20 33 27 21 514 27 17 53 62 65 46235230534229332185703872740 试求和∑的最小方差无偏估计值。 湘潭大学数学与计算科学院一页一页6

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 例 8.1 已知 ( , ) X = X1 X2 服从正态分布 ( , ) N2   ，今从 中抽取容量为 20 的一个样本，得样本值（见表 8.1）。 表 8.1 样本值表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 x 63 63 70 6 65 9 10 12 20 30 2 x 971 892 1125 82 931 112 162 321 315 375 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 x 33 27 21 5 14 27 17 53 62 65 2 x 462 352 305 34 229 332 185 703 872 740 试求和的最小方差无偏估计值

解由定理82和u的最小方差无偏估计值为 1(68+63+…+65 A=X 20(971+892+…+740 33.85 , 47750)x 由于样本离差阵 S=∑(X-X)(X-X r ∑ 湘潭大学数学与计算科学学院国国7层m

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 解 由定理 8.2 和 的最小方差无偏估计值 ˆ 为       + + + + + + = = 971 892 740 68 63 65 20 1 ˆ    X       = 477.50 33.85       = 2 1 x x 由于样本离差阵 = = − − 20 1 ( )( ) k S Xk X Xk X             −                  −      = = 2 1 20 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x k k k k k

∑(xn-x ∑ (x-x1)(x,-x2) ∑(x2-x2)x1-x)∑ k=1 1083855149056.50 149056502135681.00 所以∑的最小方差无偏估计值∑为 570.45784508 S 20-1 78450811240426 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8           − − − − − − =     = = = = 20 1 2 2 20 1 2 1 20 1 1 2 20 1 2 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 1 2 k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x       = 149056.50 2135681.00 10838.55 149056.50 所以的最小方差无偏估计值 ˆ 为       = −  = 7845.08 112404.26 570.45 7845.08 20 1 1 ˆ S

二、正态总体均值向量的假设检验 在第五章中,我们曾讨论了单体与两个正态总 体均值的有关检验,现在讨论单个和两个维正态 总体均值向量的有关检验。类似于一维情形,在此 分别对协差阵已知与未知两种情况进行讨论。 1、协差阵∑已知时,均值向量的检验 设X1,X2,…X为最正态总体N(u,∑)的样本, 其中∑已知。要检验假设 H0:"=T分>H1:≠, 其中p为已知的p维列向量。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 二、正态总体均值向量的假设检验 在第五章中，我们曾讨论了单体与两个正态总 体均值的有关检验，现在讨论单个和两个p 维正态 总体均值向量的有关检验。类似于一维情形，在此 分别对协差阵已知与未知两种情况进行讨论。 1、协差阵已知时，均值向量 的检验 设X X Xn , , 1 2 为最正态总体 (,) N p 的样本， 其中已知。 要检验假设 0 0 1 0 H : =   H :    ， 其中0为已知的p 维列向量

为了检验设H,引入统计量, =n(X-1)∑(X-pn) 由定理83知X服从正态分布NA,Σ|, 所以当H成立时,即=n时,m服从自由度为 P的x2分布。而当H不成立时,即≠山时n有 偏大的趋势。因此,对于给定的检验水,查 分布表,可得x2(p)的值使 P{≥x2(P)}=a 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 为了检验设H0 ，引入统计量， ( ) ( )0 1  = − 0  −  − n X X 由定理 8.3 知X 服从正态分布        n N 1 , ， 所以当H0成立时，即 =  0 时，服从自由度为 p的 2  分布。 而当H0 不成立时，即   0 时， 有 偏大的趋势。因此，对于给定的检验水平 ，查 2  分布表，可得 ( ) 2 p   的值使 {    ( )} =  2 P p