湘潭大学：《数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 参数估计（3.4）区间估计

§3.4区间估计 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §3. 4 区间估计

引言 前面,我们讨论了参数点估计.它 是用样本算得的一个值去估计未知参数 但是,点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值,它没有反映出这个近似值的误 差范围,使用起来把握不大.区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷

譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若 我们根据一个实际样本,得到鱼数N的极 大似然估计为1000条 实际上,N的真值可能大于1000条, 也可能小于1000条 ( “ 若我们能给出一个区间,在此区间 内我们合理地相信N的真值位于其中 这样对鱼数的估计就有把握多了 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极 大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条

也就是说,我们希望确定一个区间,使我 们能以比较高的可靠程度相信它包含真参 数值 湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信概率,置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作1-a,这里c是一个 很小的正数 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 也就是说，我们希望确定一个区间，使我 们能以比较高的可靠程度相信它包含真参 数值. • 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1− ，这里  是一个 很小的正数

置信水平的大小是根据实际需要选定的 例如,通常可取置信水平1-a=0.95或0.9等 根据一个实际样本,由给定的置信水平,我 们求出一个尽可能小的区间[,62],使 P印61≤6≤62}=1-a 称区间[1,62为6的置信水平为1-a的 置信区间. 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 1− =0.95或0.9等. P{ ˆ 1    ˆ 2 } = 1− 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 ] ˆ , ˆ [ 们求出一个尽可能小的区间 1  2 ，使 置信区间. 称区间 [ ˆ 1 , ˆ 2 ] 为  的置信水平为 1− 的

寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手 我们选取未知参数的某个估计量b,根 据置信水平1-a,可以找到一个正数δ, 使得P6-0K6}=1-a 称S为6与日之间的误差限. 只要知道的概率分布,确定误差限并不难 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手. 使得 P{| ˆ − |  } =1− 称 为  与 之间的误差限 . ˆ   我们选取未知参数的某个估计量 ，根 据置信水平 ，可以找到一个正数 ，  ˆ 1−  只要知道  的概率分布，确定误差限并不难. ˆ

由不等式|6-6可以解出: 6-6<6<b+6 这个不等式就是我们所求的置信区间 下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.  −   + ˆ ˆ 由不等式 | ˆ − |  可以解出  ： 这个不等式就是我们所求的置信区间

在求置信区间时,要查表求分位数 教材上已经给出了概率分布的上侧分位数 (分位点)的定义,为便于应用,这里我们 再简要介绍一下. 设0xo=a 的点x。为X的概率分布的上C分位数 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 教材上已经给出了概率分布的上侧分位数 （分位点）的定义，为便于应用，这里我们 再简要介绍一下. 在求置信区间时，要查表求分位数. 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) = 的点 为X的概率分布的上 分位数.  x 

设0xo=a 的点x为X的概率分布的上C分位数 f(x) 标准正态分布的 04 X-N(O.)上a分位数 例如 C l05=1.645 u X 025 =1.96 湘潭大学数学与计算科学学院国9层m

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 例如: u0.05 =1.645 u0.025 =1.96 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) =  的点 为X的概率分布的上 分位数. x  标准正态分布的 上  分位数 u 

设0xo=a 的点x为X的概率分布的上a分位数 X 自由度为m的 X-X(n) x分布的上a 分位数ra(m) 例如: C 2 0.025 (3)=9348 X Xa(n) x03(3)=0.216 湘潭大学数学与计算科学学院一四10层

湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 例如: (3) 9.348 2  0.025 = (3) 0.216 2  0.975 = 设0< <1, 对随机变量X，称满足 P(X  x ) =  的点 为X的概率分布的上 分位数. x  分布的上 分位数  ( ) 2   n 2  自由度为n的 