黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分（3.4）函数单调性的判定法

第四节函数单调性的判定法 一、单调性的判别法 巴二、单调区间求法 小结思考题

生一、单调性的判别法 y=f(r) f(r) B 0 a bx 0a 6x f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可 导1)如果在(a,b内f(x)>0,那末函数y=f(x) 在[a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内∫(x)<0, 那末函数y=f(x)在a,b上单调减少 王页下

一、单调性的判别法 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x)  0 f (x)  0 定理 ( ) [ , ] . [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 那末函数 在 上单调减少 在 上单调增加； 如果在 内 ， 导（ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内 可 y f x a b a b a b f x a b f x y f x y f x a b a b =     = = a b B A

王 证x1,x2∈(a,b),且x10 王若在(bi,r(x)>0,则r(5)>0 ∫(x2)>f(x1).∴y=f(x)在{a,b上单调增加 若在(an,b内,f(x)<0,则f(5)<0 牛:f(x)<(x):y=)ab上单调减少 王页下

证 , ( , ),  x1 x2  a b , 且 x1  x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f   −    0,  x2 − x1  若在(a,b)内，f (x)  0, 则 f ( )  0, ( ) ( ). 2 x1  f x  f  y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x)  0, 则 f ( )  0, ( ) ( ). 2 x1  f x  f  y = f (x)在[a,b]上单调减少

例1讨论函数y=e-x-1的单调性 解:y=e"-1.又:D:(-,+) 在(-∞,0)内,y'0函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 王页下

例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x  = − 1. x  y e 在(−,0)内, y  0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y  0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+)

二、 、单调区间求法 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调 :若函数在其定义域的某个区间内是单调 的,则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点. A方法:用方程∫(x)=0的根及f(x)不存在的点 生来划分函数()的定义区间然后判断区间内导 数的符号 上页

二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程 的根及 不存在的点 f x f  x = f  x

y 例2确定函数f(x)=2x3-9x2 +12x-3的单调区间 解∵D:(-∞,+). f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 解方程f(x)=0得,x1=1,x2=2 当-0,∴在(-∞,1上单调增加; 工工工 当10,在2,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,1,[1,2,[2,+∞). 上页

例2 解 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x  D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x − 1)( x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当−   x  1时， f (x)  0, 在(−,1]上单调增加； 当1  x  2时， f (x)  0, 在[1,2]上单调减少； 当2  x  +时， f (x)  0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)

例3确定函数∫(x)=x2的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) 2 f"(x)= 33x (x≠0) J 当x=0时,导数不存在 当-0,在0,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,0,[0,+∞) 上页

例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间  D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3  = x  x f x 当x = 0时,导数不存在. 当−   x  0时， 当0  x  +时，f (x)  0, 在[0,+)上单调增加； f (x)  0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x

王 出注意区间内个别点导数为零不影响区间的单调性 例如,y=x3,y-=0,但在(-∞+∞)上单调增加 例4当x>0时,试证x>n(1+x)成立 王证设(x2=x-m+x,则r(2 工工工 f(x)在[0,+0)上连续,且(0,+∞)可导,f'(x)>0 A∴在+∞)上单调增加;f(0)=0, 当x>0时,x-ln(1x)>0,即x>Im(1+x) 上页 圆

例4 证 当x  0时,试证x  ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则  =  f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x)  0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x  0时，x − ln(1 + x)  0, 即 x  ln(1+ x). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加

生三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间,结论 仍然成立 应用:利用函数的单调性可以确定某些方程实 王根的个数和证明不等式 上页

三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式

思考题 若∫'(0)>0,是否能断定f(x)在原点的 充分小的邻域内单调递增? 上页

思考题 若 f (0)  0，是否能断定f (x) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？