黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分（3.6）最大值、最小值问题

第 最大值、最小值问题 最值的求法 巴二、应用举例 巴三、小结思考题

、最值的求法 若函数f(x)在{a,b上连续,除个别点外处处可导, 并且至多有有限个导数为零的点,则f(x)在{a,b 上的最大值与最小值存在 J J bx 0 a b x 0 a b x 上页

一、最值的求法 o x y o x y a b o x y a b a b . ( ) [ , ] ( ) [ , ] 上的最大值与最小值存在 并且至多有有限个导数为零的点，则 在 若函数 在 上连续，除个别点外处处可导， f x a b f x a b

步骤 1求驻点和不可导点; 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 王注意如果区间内只有一个极值则这个极值就 A是最值最大值或最小值) 上页

步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)

生三、应用举例 例1求函数 y=2x3+3x2 12x+14的在[-3,41 上的最大值与最小值 生解∵/r()=0x+2(x-) 庄解方程f(x)=0得x=22=1 计算∫(-3)=23;f(-2)=34; ∫(1)=7; ∫(4)=142; 上页

二、应用举例 例1 解  f (x) = 6(x + 2)(x −1) . 2 3 12 14 [ 3,4] 3 2 上的最大值与最小值 求函数 y = x + x − x + 的在 − 解方程 f (x) = 0,得 2, 1. x1 = − x2 = 计算 f (−3) = 23; f (−2) = 34; f (1) =7; f (4) =142;

y=2x+3x2-12x+14 40 10 3 比较得最大值f(4)=142,最小值f(1)=7 上页

比较得 最大值 f (4) = 142，最小值 f (1) = 7. 2 3 12 14 3 2 y = x + x − x +

例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米分钟 的速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击 速度为2千米分钟 问我军摩托车何 工工工 时射击最好(相 距最近射击最好)? 点击图片任意处播放暂停 上页

点击图片任意处播放\暂停 例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？

王解(建立敌我相距函数关系 设为我军从B处发起( 追击至射击的时间分4必里 敌我相距函数(t) B 王0)=(05++4-212 4公里 (2)求s=s()最小值点 5t-7.5 s(t)= 令s(t)=0, 0.5+D) +(4-20) 得唯一驻点t=1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好. 上页 圆

解 0.5公里 (1)建立敌我相距函数关系 追击至射击的时间(分). 设 t 为我军从B处发起 敌我相距函数 2 2 s(t) = (0.5 + t) + (4 − 2t) 4公里 B A  s(t) s(t) (2) 求s = s(t)的最小值点. s(t) = . (0.5 ) (4 2 ) 5 7.5 2 2 t t t + + − − 令s(t) = 0, 得唯一驻点 t = 1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5 分钟射击最好

实际问题求最值应注意 (1)建立目标函数 A(2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数 工工工 值即为所求的最(或最小)值 上页

实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 值即为所求的最（或最小）值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数

王 王例3某房地产公司有5套公寓要出租,当租金定 为每月180元时,公寓会全部租出去.当租 金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费.试问房租定为多少可获得最大收入? 王解设房租为每月元, 租出去的房子有50 x-180 套, 10 每月总收入为 R(x)=(x-20)50--180 10 上页

例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 x 元， 租出去的房子有  套，      − − 10 180 50 x 每月总收入为 R(x) = (x − 20)       − − 10 180 50 x

R(x)=(x-20)68 10 1 F(x)=68-10+(x-20) =70 10 10 5 牛R(x)=0→x=350(唯一驻点) 故每月每套租金为350元时收入最高 最大收入为R(x)=(350-20|68- 350 10) =10890(元) 上页

      = − − 10 ( ) ( 20) 68 x R x x        + − −       = − 10 1 ( 20) 10 ( ) 68 x x R x 5 70 x = − R(x) = 0  x = 350 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为       = − − 10 350 R(x) (350 20) 68 = 10890 (元)