黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第五章 定积分

第五章定积分 习题课 巴主要内容 巴典型例题

王一、主要内容 问题1: 问题2 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 王在理(定积分广之积分 下的定 计 定积 性积 牛顿-莱布尼茨公式 王政分『八=FOF(的 圆[回 上页

问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 广义积分 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 计 算 法 牛顿-莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  一、主要内容

1、问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积A) 曲边梯形由连续曲线y=∫(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=a、x=b所围成 A=lim∑f(5Ax1 i=1 上页

1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A） i n i A =  f i x = → lim ( ) 1 0   曲边梯形由连续曲线 y = f ( x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a 、x = b所围成

c实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度ν=v()是时间 生间隔,已的一个连续函觉B(20,求 s=im∑v( △t 方法:分割、求和、取极限. 上页

实例2 （求变速直线运动的路程） i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0   设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时间 间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t)  0 ， 求 物体在这段时间内所经过的路程 S. 方法:分割、求和、取极限

庄2、定积分的定义 定义设函数∫(x)在a,b上有界,在a,b中任意 若干若干个分点 a=x<x.<x,<…<x,<x=b 把区间[a,b分成n个小区间, o,xxi,x2l,. xu-,xul, 各小区间的长度依次为Ax=x-x1,(=12,), 在各小区间上任取一点(5∈Ax1), 上页

2、定积分的定义 设函数 f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意 若干若干个分点 a = x0  x1  x2  x n−1  x n = b 把区间[a,b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )， 在各小区间上任取 一点 i （ i  xi）， 定义 [ , ],[ , ], [ , ], x0 x1 x1 x2  xn−1 xn

作乘积f(5Ax(=1,2,…)并作和S=∑f()Ax; i=1 记=max△r,△x2,…,△xn},如果不论对a 怎样的分法,也不论在小区间x1,x:l上点怎样 的取法,只要当λ→0时,和S总趋于确定的极限I, 工工工 我们称这个极限Ⅰ为函数f(x)在区间a,b上的定积分, 记为 b f(x)x=I=lim∑f(5)△ ->0 上页

怎样的分法，  = = b a f (x)dx I i i n i  f x = → lim ( ) 1 0   . 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 的取法，只要当 → 0时，和S总趋于确定的极限I ， 在区间[a,b]上的定积分， 记为 记 max{ , , , } 1 2 n  = x x  x ，如果不论对[a,b] 我们称这个极限I 为函数 f (x) 作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 点 i怎样 并作和 i i n i S =  f x = ( ) 1 

3、存在定理 可积的两个充分条件: 定理1当函数f(x)在区间4a,b上连续时, 称f(x)在区间[a,b上可积 工工工 定理2设函数f(x)在区间a,b上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在区间 a,bl上可积 上页

可积的两个充分条件： 定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则f (x) 在区间 [a,b]上可积. 3、存在定理

4、定积分的性质 性质11f(x)±g(x)x=Jf(x)cbd(x)1 b b 性质2k(x)d=f(x)dxk为常数) 工工工 性质3假设a<C<b Cf(x)dx=L S()dx+f(x)dc 上页

4、定积分的性质   b a [ f ( x) g( x)]dx  = b a f ( x)dx   b a 性质1 g(x)dx  =  b a b a 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数)  b a f (x)dx   = + b c c a f (x)dx f (x)dx 性质3 假设a  c  b

b 性质41dc=dc=b-a 性质5如果在区间{a,bl上f(x)≥0, 则f(x)x≥0(a<b) 推论:(1)如果在区间a,b上∫(x)≤g(x), 则f(xMsg(x(a<b) b (2)f(xxx(s,f(x)dx (<b) 上页

则 ( )  0  f x dx b a (a  b) 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x)  0， 推论： 则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) (a  b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x)  g(x)， f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) （2） (a  b) dx b a   1 dx b a 性质4 = = b − a

性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b 上的最大值及最小值, 尽则m0-0(sM(b 王性质7(定积分中值定理) 庄如果函数/(x)在闭区间1,b上连续, 则在积分区间[a,b上至少存在一个鳶, 使厂(x)x=f(b-a)(a≤5≤b) C积分中值公式 上页 圆

如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) (a    b) 性质7 (定积分中值定理) 设M 及m分别是函数 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  . 性质6 f (x) 在区间[a,b] 上的最大值及最小值， 积分中值公式