黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 习题课 巴主要内容 巴典型例题

王一、主要内容 (一)曲线积分与曲面积分 (二)各种积分之间的联系 (三)场论初步 上页

（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步 一、主要内容

王(-)曲线积分与曲面积分 对长的 对面积的 由线积分 曲面积分 曲线积分 曲 定联计定‖联计面 义系∥算/义系算 分 工工 对坐标的 对坐标的 由线积分 曲面积分 上页

曲 线 积 分 曲 面 积 分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 计 算 计 算 联 系 联 系 （一）曲线积分与曲面积分

曲线积分 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 定 P(x,y)x+Q(x,y)小y 义|(x,=m∑/〔,nA上 i=1 m∑P(,n△x+5,n)y 联系 「P+=J(Pa+cw)d 计|,f(x,y)d Pdx +ody L Cro, who"+y"dt - 1P(9, )o'+@(o, w)ly ' dte 算三代定(1三代定(与方向有为 上页

曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定 义  = → =    n i i i i L f x y ds f s 1 0 ( , ) lim ( , )  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i =  P   x +Q   y = → 联 系 Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos  )   + = + 计 算     = f    +  dt f x y ds L 2 2 [ , ] ( , ) 三代一定 (  )     =    +    + P Q dt Pdx Qdy L [ ( , ) ( , ) ] 二代一定 (与方向有关)

士士 与路径无关的四个等价命题 条|在单连通开区城D上P(,2(x)具有 王件|连续的阶偏导数则以下四个命题成立 王等①)在D内P+与路径无关 价(2)m+b=0闭曲线C∈D 命(3)在D内存在U(x,y)使dm=Pdx+Qd 生圈(在D内=2 1 王页下

与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y),Q(x, y)具 有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.  + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关  + =  C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx + Qdy x Q y P D   =   (4) 在 内, 等 价 命 题

曲面积分 出对面积的曲面积分对坐标的曲面积分 用定们地2视地立MM 义 王联 Pdydz+Odadx+Rdxdy=(Posa+@cos B+Cosy)ds 系 ∑ N计 ∫(x, [R(x,),2)dxdy 算|-』x列++ 士xy,(xy)d 代,二换三投与侧无关一代,二投三定向(与侧有关 上页 圆

曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义  = →  =  n i i i i i f x y z ds f s 1 0 ( , , ) lim ( , , )  i x y n i R(x, y,z)dxdy lim R( i , i , i)( S ) 1 0 =    = →      联 系   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)   = (Pcos + Qcos  + Rcos )dS   f (x, y,z)ds  = + + Dxy x y f x y z x y z z dxdy 2 2 [ , , ( , )] 1   R(x, y,z)dxdy  =  Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy

(二)各种积分之间的联系 计算 曲线积分 定积分 Stokes/公式e 计算 计算 曲面积分 重积分 Guas公式 上页

曲线积分 定积分 曲面积分 重积分 计算 计算 计算 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系

王★积分概念的联系 f(M)d=im∑f(M)△a,f(M点函数 ∑ ->0 i=1 王定积分当2→R上区间a时, 牛二重积分当Σ→R上区域D时, f(MOd=』fx,)lo 上页

( ) lim ( ) , ( )点函数 1 0 f M d f M f M n i   i =  →  =   ( ) ( ) . [ , ] , 1   =  → b a f M d f x dx R a b  当 上区间 时 ( ) ( , ) . , 2   =  → D f M d f x y d R D   当 上区域 时 积分概念的联系 定积分 二重积分

王 王曲线积分当E→R上平面曲线L时, ∫f(MO=f(x,y 生三重积分当x→凡上区城D时, f(M)=川f(x,y,)dV 曲线积分当Σ→R3上空间曲线r时, 工工工 (MOd=「f(x,y, 曲面积分当Σ→R上曲面时, (Mdo=』(x,y:)s 上页

   =  →  f M d f x y z dV R ( ) ( , , ) , 3  当 上区域 时 ( ) ( , , ) . , 3   =  →  f M d f x y z ds R  当 上空间曲线 时 ( ) ( , , ) . , 3   =  → S f M d f x y z dS R S  曲面积分 当 上曲面 时 曲线积分 三重积分 ( ) ( , ) . , 2   =  → L f M d f x y ds R L  曲线积分 当 上平面曲线 时

计算上的联系 (x,=m PV2(x) 1(,Jf(x,y)hy、(面元素) D 庄=3d体元素 (x,y)d=/1x,y(x)l1+y2x线元素(曲) 王rx=,n((线元素(投影) 上页

计算上的联系 ( , ) [ ( , ) ] ,( ) ( ) ( ) 2 1  f x y d =   f x y dy dx d面元素 b a y x y x D ( , , ) ( , , ) ,( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 f x y z dV dx dy f x y z dz dV体元素 b a y x y x z x y    z x y =    = +  b L a f (x, y)ds f[x, y(x)] 1 y dx,(ds ( )) 2 线元素 曲   = b L a f (x, y)dx f[x, y(x)]dx,(dx线元素(投影))