黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第八章 多元函数微分法 及其应用

第八章多元函数微分法 及其应用 习题课 巴主要内容 巴典型例题

主要内容 平面点亮 多元函数概念 和区域 多元函数 极限远箕 的极限 多元连续函数 多元函数 的性质 连续的概念 上页

平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念 一、主要内容

全微分 方向忌数 全微分 概念 的应用 复合函数 高阶偏号数 求导法则 偏导数 全微分形式 概念 隐函数 的不变性 求导法则 微分法在 多元函数的极值 几何上的应用 圆[回 上页

全微分 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 微分法在 几何上的应用 方向导数 多元函数的极值 全微分 概念 偏导数 概念

A1、区域 (1)邻域 王设1(x,y)是xy平面上的一个点,δ是某 一正数,与点P0(x0,y)距离小于δ的点P(x,y) 的全体,称为点P0的δ邻域,记为U/(0,), 工工工 U(P0,5)={PPPk<} =x,y)|√(x-xn)2+(y-y)2<6 (2)区域连通的开集称为区域或开区域 上页

1、区域 设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0  ， （1）邻域 ( , ) U P0  = P | PP0 |  ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y    P0  （2）区域 连通的开集称为区域或开区域．

上(3)聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限 生多个点属于点集E,则称P为E的聚点 (4)n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称元数组 (x1,x2,…,xn)的全体为维空间,而每們元数 组(x,x,…,x1)称为维空间中的一个点,数 x称为该点的第个坐标 上页

（3）聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. （4）n维空间 设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组 ( , , , ) x1 x2  xn 的全体为n 维空间，而每个n 元数 组( , , , ) x1 x2  xn 称 为n 维空间中的一个点，数 xi称为该点的第i 个坐标

王2、多元函数概念 定义设D是平面上的一个点集,如果对于每 王个点P(x,y∈D,变量按照定的法则总有确 定的值和它对应,则称是变量x,y的二元函数, 记为z=∫(x,y)(或记为z=∫(P)) 类似地可定义三元及三元以上函数 庄当≥2时,n元函数统称为多元函数 上页

设D是平面上的一个点集，如果对于每 个点P( x. y)  D，变量z 按照一定的法则总有确 定的值和它对应，则称z 是变量x, y 的二元函数， 记为z = f ( x, y)（或记为z = f (P)）. 2、多元函数概念 定义 当n  2时，n 元函数统称为多元函数. 类似地可定义三元及三元以上函数．

3、多元函数的极限 定义设函数z=f(x,y)的定义域为D,P(x0,y) 生是其聚点,如果对于任意给定的正数,总存在 正数δ 使得对于适合不等式 0yo 或∫(x,y)→A(P→0)这里p=PP0|) 王页下

定 义 设函数z = f ( x, y)的定义域为D, ( , ) 0 0 0 P x y 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正 数  ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式  = − + −   2 0 2 0 0 0 | PP | (x x ) ( y y ) 的一切 点，都有| f ( x, y) − A |  成立，则称A 为函数 z = f ( x, y)当x → x0， 0 y → y 时的极限， 记为 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 （或 f ( x, y) → A ( → 0)这里 | |  = PP0 ）. 3、多元函数的极限

说明: c(1)定义中P→P的方式是任意的; 王(2)二元函数的极限也叫二重极限lmn(xy) 丰《3)三元函数的极限运算法则与一元函数类似 4、极限的运算 牛设P→P时,fP)→A,f(P)→E则 (1)∫(P)±g(P)→A±B;(2).∫(P)·g(P)→A.B; (3).f(P)g(P)→AB(B≠0) 上页

说明： （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim ( , ); 0 0 f x y y y x x → → （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 4、极限的运算 (3). ( ) ( ) ( 0). (1). ( ) ( ) ; (2). ( ) ( ) ; ( ) , ( ) , 0 →   →   →  → → → f P g P A B B f P g P A B f P g P A B 设 P P 时，f P A f P B 则

5、多元函数的连续性 定义设n元函数f(P)的定义域为点集D,P是 其聚点且P∈D,如果imf(P)=∫(P0)则称 王元函数八(P在点P处连续 工工工 设P是函数f(P)的定义域的聚点,如果 ∫(P)在点P处不连续,则称是函数f(P)的 间断点 上页

5、多元函数的连续性 定 义 设n元函数 f (P)的定义域为点集 0 D, P 是 其聚点且P0  D，如果 lim ( ) ( ) 0 0 f P f P P P = → 则称n 元函数 f (P)在点P0 处连续. 设P0 是函数 f (P)的定义域的聚点，如果 f (P)在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P)的 间断点

6、多元连续函数的性质 (1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上 A至少取得它的最大值和最小值各一次. (2)介值定理 工工工 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在 D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介 中于这两值之间的任何值至少一次 上页

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 6、多元连续函数的性质