黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第七章 空间解析几何与向量代数

第七章空间解析几何 与向量代数 习题课 巴主要内容 典型例题

生一、主要内容 (一)向量代数 生(=)空间解析几何 上页

一、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何

王(-)向量代数 向量概念 向量的 向量的 千做蚀运 表尔法 向量的积 L数量积 混合积 向量积 上页

向量的 线性运算 向量的 表示法 数量积 混合积 向量积 向量的积 向量概念 （一）向量代数

1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量 重要概念: 向量的模、单位向量、零向量、 自由向量、相等向量、负向量、 牛平行向量、向径 上页

1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、 相等向量、 负向量、 向径. 重要概念: 向量的模、单位向量、零向量、 平行向量

庄2.向量的线性运算 a+b=c (1)加法:a+b=c (2)减法:a-b=d a-b=d (3)向量与数的乘法: 设几是一个数,向量与λ的乘积a规定为 王①>0,Mn与d同向,ln=4l 牛(2)=0,=0 (3)九<0,A与反向,|a|=x|·|al 上页 圆

(1) 加法： a b c    + = 2、向量的线性运算 a b d    a − =  b  (2) 减法： a b c    + = a b d    − = (3) 向量与数的乘法： 设 是一个数，向量a  与 的乘积 a   规定为 (1)   0, a   与a 同向，| a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与a 反向， | a | | | | a |    =  

庄3、向量的表示法 向量的分解式:=a1i+a,j+a2k 在三个坐标轴上的分向量:a,a,j,ak 向量的坐标表示式:a={a2,an,a2 王向量的坐标;:a,a,a 牛其中a,分别为向量在xy,z轴上的投影 上页

向量的分解式： { , , } x y z a = a a a  , , , . 其中ax, ay az 分别为向量在 x y z 轴上的投影 a ax i ay j az k     = + + 在三个坐标轴上的分向量： ax i ay j az k    , , 向量的坐标表示式： 向量的坐标： ax ay az , , 3、向量的表示法

庄向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 e a=fax, a, a) 6=bx,b,,b23 a+b=a+b, a,+b,, a, +b, =(ax+b)+(an+b,)j+(a2+b2)k a-b=lax-bx, av-b,, a2-b2) =(ax-bxi+(a, -b,)j+(a2-b2)k na=x, na,, na,) =( +(a )j+(a2)k 上页

向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 { , , } x y z a = a a a  { , , } b = bx by bz  { , , } a + b = ax + bx ay + by az + bz   { , , } a − b = ax − bx ay − by az − bz   { , , } a = ax ay az  ax bx i ay by j az bz k    = ( + ) + ( + ) + ( + ) ax bx i ay by j az bz k    = ( − ) + ( − ) + ( − ) ax i ay j az k    = ( ) + ( ) + ( )

向量模长的坐标表示式|a=a2+an2+a2 向量方向余弦的坐标表示式 coSC= 2 +.+a COS= 2 2 .+a.+a 2L cosy=2 a. +al tax( cos a+ cos B+cosr=1) J 上页

2 2 2 | | a = ax + ay + az  向量模长的坐标表示式 2 2 2 cos x y z x a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z y a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z z a a a a + +  = 向量方向余弦的坐标表示式 ( cos cos cos 1 ) 2 2 2  +  +  =

4、数量积(点积、内积) ab=b|cosθ其中日与的夹角 数量积的坐标表达式 i·b=a.b.+.b.+a x 两向量夹角余弦的坐标表示式 ab +abta b coS 6 ZZ a.2+an+a2、b2+b+b i⊥b b.+a.b.+ab.=0 上页

4、数量积 a b | a || b | cos      = 其中 为a  与b  的夹角 (点积、内积) a b = axbx + ayby + azbz    数量积的坐标表达式 a b   ⊥ axbx + ayby + azbz = 0 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式

上5、向量积(叉积、外积) c|=l‖bsin6其中6为与b的夹角 王c的方向既垂直子,又垂直扬,指向符合 右手系 工工工 向量积的坐标表达式 axb =(a, b -a,b,)i+(a, b -a, b)j +(a,b, -a,b k 上页

5、向量积 | c | | a || b |sin    = 其中 为a  与b  的夹角 c 的方向既垂直于a  ，又垂直于b  ，指向符合 右手系. (叉积、外积) a b a b k a b a b i a b a b j x y y x y z z y z x x z    ( ) ( ) ( ) + − = − + − 向量积的坐标表达式 a b   