黑龙江八一农垦大学：《高等数学习题课》第十二章 微分方程

第十二章微分方程 习题课 巴主要内容 巴典型例题

王一、主要内容 一阶方程 本概念 高阶方程 可降阶方程 类型 二阶常系数线性 1.直接积分法 方程解的结构 2可分离变量 3.齐次方程 特征方程法线性方程 4.可化为齐次 解的结构 方程 待特征方程的根 定及其对应项 5.全微分方程系 定理1;定理2 工工 6.线性方程 定理3;定理4 法f(x)的形式及其 特解形式 7.伯努利方程 欧批方程 圆[回 上页

一阶方程 基本概念 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 欧拉方程 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待 定 系 数 法 特征方程法 一、主要内容

王 平微分方程解题思路 作变换 分高变量法 非非 变全 一阶方程金微分方程 量微 积分因子 作量降 可 变阶 常数变易法 分方 换 高程 高阶方程 特征方程法 幂级数解法 待定系数法 上页

微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非 全 微 分 方 程 非 变 量 可 分 离 幂级数解法 降 阶 作 变 换 作变换 积分因子

庄1、基本概念 微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程. 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 工工工 微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解. 上页

1、基本概念 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．

通解如果微分方程的解中含有任意常数,并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的 解叫做微分方程的通解. 特解确定了通解中的任意常数以后得到的解 叫做微分方程的特解 初始条件用来确定任意常数的条件 工工工 初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题, 叫初值问题 上页

通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．

庄2、一阶微分方程的解法 上(1)可分离变量的微分方程 形如g(y)dy=f(x)d 分离变量法 解法g(y)d=∫f(x)t (2)齐次方程形如=∫( 解法作变量代换" 上页

形如 g( y)dy = f (x)dx (1) 可分离变量的微分方程 解法   g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 2、一阶微分方程的解法 ( ) x y f dx dy (2) 齐次方程 形如 = 解法 x y 作变量代换 u =

王()可化为齐次的方程 ax+by+c =f( dx a,x+b,y+CI 上当c=c1=时,齐次方程.否则为非齐次方程 解法令x=X+h, 工工工 y=Y+k,化为齐次方程 (其中h和k是待定的常数) 上页

( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + 形如 = 当c = c1 = 0时, 齐次方程． ， 令 y Y k x X h = + = + , （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程． (3) 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程．

(4)一阶线性微分方程 形如的 +P(x)y=o(x) 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)年0, 上方程称为非齐次的 解法齐次方程的通解为y=Cc/n (使用分离变量法) 上页

P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = (4) 一阶线性微分方程 当Q(x)  0, 上方程称为齐次的． 当Q(x)  0, 上方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 . ( )  = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 解法

非齐次微分方程的通解为 c y=ll2(xy P(x)de P(x)dx e dx +cle (常数变易法) (5)伯努利 Bernoul)方程 工工工 形如中 +P(x)y=Q(x)y"(n≠0,1) dx As当=0时,方程为线性微分方程 牛当n≠0时,方程为非线性微分方程 上页

非齐次微分方程的通解为  +  = −  P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] （常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n  0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n  0,1时， 方程为非线性微分方程

解法需经过变量代换化为线性微分方程 令z=y-n, y=4 「(1-n)P(x)d Q(x)(1-n)e (1-n)P(x)idx dx+C) (6)全微分方程 王形如P(x,)+Q(x,y)=0 其中d(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y) 上页

解法 需经过变量代换化为线性微分方程． , 1 n z y − 令 = ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1  +  −  = = − − − − e Q x n e dx C y z n P x d x n P x d x n P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 其中 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 形如 (6) 全微分方程