浙江大学电工电子教学中心：《电路原理》第九章（9-1） 拉普拉斯变换(1)

第九章拉普拉斯变换、卷积积分、状态方程 主要内容: (1)拉氏变换的定义及基本性质; (2)拉氏反变换方法(分解定理); (3)运算电路及初始条件的转换; (4)网络函数及零极点分析; (5)卷积积分; (6)状态方程的建立

第九章 拉普拉斯变换、卷积积分、状态方程 主要内容: (1) 拉氏变换的定义及基本性质; (2) 拉氏反变换方法(分解定理); (3) 运算电路及初始条件的转换; (4) 网络函数及零极点分析; (5) 卷积积分; (6) 状态方程的建立

R3 R3 us(t)+ C C2 u(t) 稳态电路: 1)直流激励源,直流稳态解 2)正弦交流激励源,正弦交流稳态解 复数变换) 动态电路: 3)任意激励源,电路全响应(动态电路).(时域解微分方程 (拉氏变换)

R3 R3 C1 C2 RZ L1 L2 us(t ) u(t ) 1) 直流激励源, 直流稳态解. 2) 正弦交流激励源, 正弦交流稳态解. (复数变换) 稳态电路: 3) 任意激励源, 电路全响应(动态电路). 动态电路: (时域解微分方程) (拉氏变换)

91拉氏变换及其应用概述 1)变换域求解电路问题的讨论: ls(t)+ R 在正弦交流电路中,相量计算是 变换域求解的方法 变换 正弦交流电路 相量电路 U(t)=Usin at U=U∠0 设i=lsin(Ot+) l=I∠ usin at=RI sin(at +0) U=RI+ joLI +lol cos(ot +0) 角函数计算|直接计算 复数计算 i(t)=/sin(at +6) 反变换i ∠6 R+JOL

( ) sin U t U t s =  i t I t ( ) sin( ) = +   sin sin( ) cos( ) u t RI t L I t       = + + + i I t = + sin( )   正弦交流电路 三角函数计算 设 直接计算 反变换 0 U U s =  s I I =  U RI j LI S = +  US I I R j L   = =  + 相量电路 变换 复数计算 1）变换域求解电路问题的讨论: 在正弦交流电路中，相量计算是 变换域求解的方法。 i L R L us(t ) 9.1 拉氏变换及其应用概述

利用变换域解电路问题是为了简化电路计算!! R 时域 频域 I(SK SL 电路微分方程捡氏正变换 S域象函数 运算电路 U= Ri+L US(S)=RI(S)+ (0) LS/(S)+L(0) (解微分方程) (解代数方程) i(t)=-S+[(0)--S]e lS U(S) )-L(0-) R R R+sL 拉氏逆变换

利用变换域解电路问题是为了简化电路计算！！ 0 (0 ) L s L di U Ri L dt i i −   = +    = ( ) [ (0 ) ] S S t U U i t i e R R −  − = + − 电路微分方程 时域 （解微分方程） 拉氏正变换 拉氏逆变换 ( ) ( ) ( ) (0 ) U S RI S S LSI S Li − = + + ( ) (0 ) ( ) U S Li S I S R sL − − = + S域象函数 频域 运算电路 （解代数方程） (S) R Us I SL (S)

用拉氏变换解动态电路的三个要点: ①激励函数的变换(正变换) ②电路元件的变换(运算电路) ③频域响应的逆变换(逆变换) 拉氏变换解动态电路的内容: (1)拉氏变换原函数和象函数的转换; (2)运算电路的建立及初始条件表示; (3)运算结果(象函数转换为时域表达式(分解定理)

用拉氏变换解动态电路的三个要点： ①激励函数的变换（正变换） ②电路元件的变换（运算电路） ③频域响应的逆变换（逆变换） 拉氏变换解动态电路的内容: (1) 拉氏变换原函数和象函数的转换; (2) 运算电路的建立及初始条件表示; (3) 运算结果(象函数)转换为时域表达式(分解定理)

92拉氏变换定义及基本性质 一个定义在[Q,∞)的函数f( 拉氏正变换为: F(s)=f(t)e sdt 其中S=σ+JO为复数。 记作:F(S)=L[f()

一个定义在 0,) 的函数 f t( ) ， 其中 s j = +   为复数。 拉氏正变换为: 记作: F s f t ( ) [ ( )] = L 0 ( ) ( ) st F s f t e dt −  − =  9.2 拉氏变换定义及基本性质

拉氏反变换为: f()=1 C+J∞ F(se ds 2r j C- oo 记作:f(t)=L[F(s) ∫F()为/()的象函数 f()为F(S)的原函数

( ) ( ) ( ) , ( ) F s F s f t f t    为 的象函数 为 的原函数. 拉氏反变换为: 1 ( ) ( ) 2 c j st c j f t F s e ds  j +  −  =  1 f t F s ( ) [ ( )] − 记作: = L

常见函数的拉氏变换: ①单位阶跃函数1() F(s)=1(ed=-e|n= S S ②单位冲击函数δ() F(s)=6()e"dt=(t)dt=1 式中利用了(1)的筛分性质,即: d(tf(t)di δ(t):f(t)lt=f(0)

常见函数的拉氏变换： ①单位阶跃函数 1( )t 1 1 ( ) 1( ) st st o o F s t e dt e s S − −  − −  = = − =   ( )t ( ) ( ) d ( )d 1 o st o o F s t e t t t   + − −  − = = =   ②单位冲击函数  ( )t 0 0   ( ) ( ) ( ) ( ) (0) t f t dt t f t dt f + −  − =  =   式中利用了 的筛分性质，即：

③指数函数e at F(s)=e esdi -(sta)' dt e(sta)|∞ s+a s+a (t) t e s+a

③指数函数 e −t ( ) ( ) 1 ( ) e d e d e e st s t s t o o o t F s t t s     − − −   − − − + − +  = = = − +   1 s  = + e −t 1 s +  ( )t 1(t) 1 1 S

拉氏变换的主要性质 ①线性性质 设:L{()}=F(S),L{2()}=F2(s) 则有|L{4f(0)+b()=aF(s)+b5(s)

拉氏变换的主要性质 ①线性性质 L f t F s L f t F s  1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( )  = =   L af t bf t aF s bF  1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (s) + = +  设: 则有