浙江大学电工电子教学中心：《电路原理》第七章 网络矩阵方程(甲)

第七章网络矩阵方程 本章主要内容 1.图的基本概念; 2.关联矩阵A,回路矩阵B,割集矩阵Q; 3.KCL矩阵形式,KⅥ矩阵形式; 节点电压方程矩阵形式 5.回路电流方程矩阵形式; 6.割集电压方程矩阵形式; 7.列表法(2B法)介绍

第七章 网络矩阵方程 本 章 主 要 内 容 1. 图的基本概念; 2. 关联矩阵A，回路矩阵B, 割集矩阵Q; 3. KCL矩阵形式, KVL矩阵形式; 4. 节点电压方程矩阵形式; 5. 回路电流方程矩阵形式; 6. 割集电压方程矩阵形式; 7. 列表法(2B法)介绍

1)当电路的结构比较简单时,可以直接利用基尔霍夫定律 及前面章节所介绍的支路法、回路法和节点法,直接手工建 立所需的解题方程组来解题 2)解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系 统化分析,应用矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方 程,即建立矩阵形式的节点电压方程、割集电压方程和回路 电流方程等。 3)求解矩阵形式表示的电路方程,可以归结为解矩阵相量的 问题,可采用矩阵计算工具软件如 Matlab软件等方便快捷 地进行矩阵运算

1) 当电路的结构比较简单时，可以直接利用基尔霍夫定律 及前面章节所介绍的支路法、回路法和节点法，直接手工建 立所需的解题方程组来解题。 3)求解矩阵形式表示的电路方程，可以归结为解矩阵相量的 问题，可采用矩阵计算工具软件如Matlab软件等方便快捷 地进行矩阵运算。 2)解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系 统化分析，应用矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方 程，即建立矩阵形式的节点电压方程、割集电压方程和回路 电流方程等

71网络图论概念 电路图与拓扑图 R2 r4 R5 R3 5 R6 6 RI S1 实际电路图 对应的线图(有向图) 线图是由点(节点)和线段(支路)组成,反映实际 电路的结构(支路与节点之间的连接关系)

7.1 网络图论概念 电路图与拓扑图 实际电路图 对应的线图(有向图) 线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际 电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。 R2 R5 R4 R1 R3 R6 U s1 ① ② ③ ④ ① ② ④ ③ 1 2 3 6 4 5

树支、连支、单连支回路 树T所包含的支路称为树支; (图中支路1、2、3) 图中其余的支路称为连支; (图中支路4、5、6) 树支数=n+-1(节点数减1) 连支数=支路数一树支数 b-n+1=(网孔数) 5① 单连支回路:每一连支可与其两端 之间的唯一树支路径构成一条唯一 6 的回路。此回路称为单连支回路。 回路方向与连支一致

树支、连支、单连支回路 ① ② ④ ③ 1 2 3 4 5 6 树T所包含的支路称为树支； （图中支路1、2、3） 图中其余的支路称为连支； （图中支路4、5、6） 树支数 = nt－1 (节点数减1） 连支数=支路数－树支数 = b － nt ＋1 =（网孔数） ① ② ④ ③ 1 2 3 6 ③ 4 ② 5 ① 单连支回路：每一连支可与其两端 之间的唯一树支路径构成一条唯一 的回路。此回路称为单连支回路。 回路方向与连支一致

72关联矩阵与节点电流定律 实际电路结构可用一个有向图来具体描述。把有向图 各节点和支路编号,然后依次把各支路与相应连接点的 连接信息用数字形式记忆下来。根据这些信息可完整描 述电路的联接关系,计算机可根据这些信息自动识别电 路关系,并应用基尔霍夫定律建立相应的电路方程,进 行相应的运算。 R4 反映电路结构中支路 R5 R3 与节点连接关系可用一个 关联矩阵A来描述 R6 RI Us

7.2 关联矩阵与节点电流定律 实际电路结构可用一个有向图来具体描述。把有向图 各节点和支路编号，然后依次把各支路与相应连接点的 连接信息用数字形式记忆下来。根据这些信息可完整描 述电路的联接关系，计算机可根据这些信息自动识别电 路关系，并应用基尔霍夫定律建立相应的电路方程，进 行相应的运算。 反映电路结构中支路 与节点连接关系可用一个 关联矩阵A来描述. R2 R5 R4 R1 R3 R6 U s1 ① ② ③ ④

关联矩阵 有向图结构用一个n1×b阶矩阵来表示,记为A。矩阵的行对 应于有向图的节点,矩阵的列对应于网络的支路。 A中的元素作如下定义: 0当支路k不连接到节点时 a={+1当支路k连接到节点,且方向为离开节点时; 当支路k连接到节点j,且方向为指向节点时 有向图 支 路 1-11000 节 010 -10 5 100-101 点 6 00

关联矩阵 ① ② ④ ③ 1 2 3 6 4 5 有向图 有向图结构用一个 阶矩阵来表示，记为 。矩阵的行对 应于有向图的节点，矩阵的列对应于网络的支路。 中的元素作如下定义： t n b A a A a 0 1 , 1 , jk k j a k j k j   = +  − 当支路 不连接到节点 时; 当支路 连接到节点 且方向为离开节点时; 当支路 连接到节点 且方向为指向节点时; 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 Aa   − −   −     −     − − = 支 路 节 点

支 路 000节 0101-10 100-101 点 00-101 节点数:n2 支路数:b 1)每一列中只包含二个非零元素+1和-1 2)把所有行的元素按列相加,则得到全零的行,因此矩阵的行 不是彼此独立的。 3)矩阵的秩为n1-1

① ② ④ ③ 1 2 3 6 4 5 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 Aa   − −   −     −     − − = 支 路 节 点 1) 每一列中只包含二个非零元素＋1和－1 2) 把所有行的元素按列相加，则得到全零的行，因此矩阵的行 不是彼此独立的。 3) 矩阵的秩为 nt −1 。 节点数： 支路数： t n b

降阶关联矩阵 把A的任一行划去,剩下的矩阵称为降阶关联矩阵,记作A。 1000 A=0101-10 100-10 1)矩阵A的行是彼此独立的; 2)矩阵A同样能充分描述有向图的连接关系,划去的行对应 的节点即为参考节点

降阶关联矩阵 把 Aa 的任一行划去，剩下的矩阵称为降阶关联矩阵，记作A。 ① ② ④ ③ 1 2 3 6 4 5 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 A   − −   −       − = 1） 矩阵A的行是彼此独立的； 2） 矩阵A同样能充分描述有向图的连接关系，划去的行对应 的节点即为参考节点

由关联矩阵可建立电路的连接图(有向图 1-10010 00 0101 1-100 01① 100101②

由关联矩阵可建立电路的连接图(有向图) 1 2 4 3 5 6 ① ② ③ ④ 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 A   −   −       − − = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 Aa   −   −  −    − −   −   = ① ② ③ ④

矩阵形式的基尔霍夫电流定律 设网络各支路电流为1,2,…,b 支路电流方向与有向图支路方向一致, 用矩阵形式表示的支路电流列向量为 用关联矩阵A左乘支路电流列向量i,可得 Ai=o 或 AI=O 上式为矩阵形式的基尔霍夫电流定律

矩阵形式的基尔霍夫电流定律 ① ② ④ ③ 1 2 3 6 4 5 1 2 , , , b i i i 1 2 [ , , , ]T b i = i i i 设网络各支路电流为 支路电流方向与有向图支路方向一致， 用矩阵形式表示的支路电流列向量为 用关联矩阵A左乘支路电流列向量i，可得 Ai = 0 或 AI = 0 上式为矩阵形式的基尔霍夫电流定律