《计算机应用基础》课程教学资源（推荐书籍）思考的乐趣

序 序一 顾森 我本不想写这个序。因为知道多数人看书不爱看序言。特别是像本书这样 有趣的书，看了目录就被吊起了胃口，性急的读者肯定会直奔那最吸引眼球的 章节，哪还有耐心看你的序言？ 话虽如此，我还是答应了作者，同意写这个序。一个中文系的青年学生如 此喜欢数学，居然写起数学科普来，而且写得如此投入又如此精彩，使我无法 拒绝。 书从日常生活说起，一开始就讲概率论教你如何说谎。接下来谈到失物、 物价、健康、公平、密码还有中文分词，原来这么多问题都与数学有关！但有 关的数学内容，理解起来好像并不是很容易。一个消费税的问题，又是图表曲 线，又是均衡价格，立刻有了高深模样。说到最后，道理很浅显：向消费者收 税，消费意愿减少，商人的利润也就减少；向商人收税，成本上涨，消费者也 就要多出钱。数学就是这样，无论什么都能插进去说说，而且千方百计把事情 说个明白，力求返璞归真。 如果你对生活中这些事无所谓，就从第二部分开始看吧。这里有“让你立 刻爱上数学的8个算术游戏”。作者口气好大，区区5页文字，能让人立刻爱上 数学？你看下去，就知道作者没有骗你。这些算术游戏做起来十分简单却又有 趣，背后的奥秘又好像深不可测。8个游戏中有6个与数的十进制有关，这给 了你思考的空间和当一回数学家的机会。不妨想想做做，换成二进制或八进 制，这些游戏又会如何？如果这几个游戏勾起了探究数字奥秘的兴趣，那就接 1

着往下看，后面是一大串折磨人的长期没有解决的数学之谜。问题说起来很浅 显明白，学过算术就懂，可就是难以回答。到底有多难，谁也不知道。也许明 天就有人想到了一个巧妙的解答，这个人可能就是你；也许一万年仍然是个悬 案。 但是这一部分的主题不是数学之难，而是数学之美。这是数学文化中常说 常新的话题，大家从各自不同的角度欣赏数学之美。陈省身出资两万设计出版 了《数学之美》挂历，十二幅画中有一张是分形，是唯一在本书这一部分中出 现的主题。这应了作者的说法：“讲数学之美，分形图形是不可不讲的。”喜爱 分形图的读者不妨到网上搜索一下，在图片库里有丰富的彩色分形图。一边读 着本书，一边欣赏神秘而惊人美丽的艺术作品，从理性和感性两方面享受思考 和观察的乐趣吧。此外，书里还有不常见的信息，例如三角形居然有5000多 颗心，我是第一次知道。看了这一部分，马上到网上看有关的网站，确实是开 了眼界。 作者接下来介绍几何。几何内容太丰富了，作者着重讲了几何作图。从经 典的尺规作图、有趣的单规作图，到疯狂的生锈圆规作图、意外有效的火柴棒 作图，再到功能特强的折纸作图和现代化机械化的连杆作图，在几何世界里我 们做了一次心旷神怡的旅游。原来小时候玩过的折纸剪纸，都能够登上数学的 大雅之堂了！最近看到《数学文化》月刊上有篇文章，说折纸技术可以用来解 决有关太阳能飞船、轮胎、血管支架等工业设计中的许多实际问题，真是不可 思议。 学习数学的过程中，会体验到三种感觉。 一种是思想解放的感觉。从小学里学习加减乘除开始，就不断地突破清规 戒律。两个整数相除可能除不尽，引进分数就除尽了；两个数相减可能不够 减，引进负数就能够相减了；负数不能开平方，引进虚数就开出来了。很多现

一 象是不确定的，引进概率就有规律了。浏览本书过程中，心底常常升起数学无 禁区的感觉。说谎问题，定价问题，语文句子分析问题，都可以成为数学问 题；摆火柴棒，折纸，剪拼，皆可成为严谨的学术。好像在数学里没有什么问 题不能讨论，在世界上没有什么事情不能提炼出数学。 一种是心灵震撼的感觉。小时候读到棋盘格上放大米的数学故事，就感到 震撼，原来24一1是这样大的数！在细细阅读本书第五部分时，读者可能 一次一次地被数学思维的深远宏伟所震撼。一个看似简单的数字染色问题，推 理中运用的数字远远超过佛经里的“恒河沙数”，以至于数字仅仅是数字而无实 际意义！接下去，数学家考虑的“所有的命题”和“所有的算法”就不再是有穷个 对象。而对于无穷多的对象，数学家依然从容地处理之，该是什么就是什么。 自然数已经是无穷多了，有没有更大的无穷？开始总会觉得有理数更多。但错 了，数学的推理很快证明，密密麻麻的有理数不过和自然数一样多。有理数都 是整系数一次方程的根，也许加上整系数2次方程的根，整系数3次方程的根 等等，也就是所谓代数数就会比自然数多了吧？这里有大量的无理数呢！结果 又错了。代数数看似声势浩大，仍不过和自然数一样多。这时会想所有的无穷 都一样多吧，但又错了。简单而巧妙的数学推理得到很多人至今不肯接受的结 论：实数比自然数多！这是伟大的德国数学家康托的代表性成果。 说这个结论很多人至今不肯接受是有事实根据的。科学出版社去年出了一 本书名为《统一无穷理论》，该书作者主张无穷只有一个，不赞成实数比自然 数多，希望建立新的关于无穷的理论。他的努力受到一些研究数理哲学的学者 的支持，可惜目前还不能自圆其说。我不知道有哪位数学家支持“统一无穷理 论”，但反对“实数比自然数多”的数学家历史上是有过的。康托的老师克罗内 克激烈地反对康托的理论，以致康托得了终身不愈的精神病。另一位大数学家 布劳威尔发展了构造性数学，这种数学中不承认无穷集合，只承认可构造的数 3

序 学对象。只承认构造性的证明而不承认排中律，也就不承认反证法。而康托证 明“实数比自然数多”用的就是反证法。尽管绝大多数的数学家不肯放弃无穷集 合概念，也不肯放弃排中律，但布劳威尔的构造性数学也被承认是一个数学分 支，并在计算机科学中发挥重要作用。 平心而论，在现实世界确实没有无穷。既没有无穷大也没有无穷小。无穷 大和无穷小都是人们智慧的创造物。有了无穷的概念，数学家能够更方便地解 决或描述仅仅涉及有穷的问题。数学能够思考无穷，而且能够得出一系列令人 信服的结论，这是人类精神的胜利。但是，对无穷的思考、描述和推理，归根 结底只能通过语言和文字符号来进行。也就是说，我们关于无穷的思考，归根 结底是有穷个符号排列组合所表达出来的规律。这样看，构造数学即使不承认 无穷，也仍然能够研究有关无穷的文字符号，也就能够研究有关无穷的理论。 因为有关无穷的理论表达为文字符号之后，也就成为有穷的可构造的对象了。 话说远了，回到本书。本书一大特色，是力图把道理说明白。作者总是用 自已的语言来阐述数学结论产生的来龙去脉，在关键之处还不忘给出饱含激情 的特别提醒。数学的美与数学的严谨是分不开的。数学的真趣在于思考。不少 数学科普，甚至国外有些大家的作品，说到较为复杂深刻的数学成果，常常不 肯花力气讲清楚其中的道理，可能认为讲了读者也不会看，是费力不讨好。本 书讲了不少相当深刻的数学工作，其推理过程有时曲折迂回，作者总是不畏艰 难，一板一眼地力图说清楚，认真实践着古人“诲人不倦”的遗训。这个特点使 本书能够成为不少读者案头床边的常备读物，有空看看，常能有新的思考，有 更深的理解和收获。 信笔写来，已经有好几页了。即使读者有兴趣看序言，也该去看书中更有 趣的内容并开始思考了吧。就此打住。祝愿作者精益求精，根据读者反映和自 己的思考发展不断丰富改进本书；更希望早日有新作问世

外洲 2012年4月29日 5

序二 序二 顾森 欣闻《思考的乐趣：Matrix67数学笔记》即将出版，应作者北大中文系的 数学侠客顾森的要求写个序。我非常荣幸也非常高兴做这个命题作业。记得几 个月前，与顾森校友及图灵新知丛书的编辑朋友们相聚北大资源楼喝茶谈此书 的出版，还谈到书名等细节。没想到图灵的朋友出手如此之快，策划如此到 位。在此也表示敬意。我本人也是图灵新知丛书的粉丝，看过他们好几本书， 比如《数学万花筒》、《数学那些事儿》、《历史上最伟大的10个方程》 等，都很不错。 我和顾森虽然只有一面之缘，但好几年前就知道并关注他的博客了。他的 博客内容丰富、有趣，有很多独到之处。诚如一篇关于他的报道所说，在百度 和谷歌的搜索框里输入matiⅸ，搜索提示栏里排在第一位的并不是那部英文名 为Matrix(《黑客帝国》)的著名电影，而是一个名为natrix67的个人博客。 自2005年6月开博以来，这个博客始终保持更新，如今已有上千篇博文。在果 壳科技的网站里（这也是一个我喜欢看的网站），他的自我介绍也很有意 思：“数学宅，能背到圆周率小数点后50位，会证明圆周率是无理数，理解欧 拉公式的意义，知道四维立方体是由8个三维立方体组成的，能够把直线上的 点和平面上的点一一对应起来。认为生活中的数学无处不在，无时不影响着我 们的生活。” 据说，顾森进入北大中文系纯属误打误撞。2006年，还在念高二的他代 表重庆八中参加了第23届中国青少年信息学竞赛并拿到银牌，获得了保送北

序 大的机会。选专业时，招生老师傻了眼：他竟然是个文科生。为了专业对口， 顾森被送入了中文系，学习应用语言学。 虽然身在文科，他却始终迷恋着数学。在他看来，数学似乎无所不能。对 于用数学来解释生活，他持有一种近乎偏执的狂热一一在他的博客上，油画、 可乐罐、选举制度、打出租车，甚至和女朋友在公园约会，都能与数学建立起 看似不可思议却又合情合理的联系。这些题目，在他这本新书里也有充分体 现。 近代有很多数学普及家，他们不只对数学有着较深刻的理解，更重要的是 对数学有着一种与生俱来的挚爱。他们的努力搭起了数学圈外人和数学圈内事 的桥梁。 这里最值得称颂的是马丁·伽德纳，他是公认的趣味数学大师。他为《科 学美国人》杂志写趣味数学专栏，一写就是二十多年，同时还写了几十本这方 面的书。这些书和专栏影响了好几代人。在美国受过高等教育的人（尤其是搞 自然科学的)，绝大多数都知道他的大名。许多大数学家、科学家都说过他们 是读着伽德纳的专栏走向自己现有专业的。他的许多书被译成各种文字，影响 力遍及全世界。有人甚至说他是20世纪后半叶在全世界范围内数学界最有影 响力的人。对我们这一代中国人来说，他那本被译成《啊哈，灵机一动！》的 书很有影响力，相信不少人都读过。让人吃惊的是，在数学界如此有影响力的 伽德纳竞然不是数学家，他甚至没有修过任何一门大学数学课。他只有本科学 历，而且是哲学专业。他从小喜欢趣味数学，喜欢魔术。读大学时本来是想到 加州理工去学物理，但听说要先上两年预科，于是决定先到芝加哥大学读两年 再说。没想到一去就迷上了哲学，一口气读了四年，拿了个哲学学士。这段读 书经历似乎和顾森有些相似之处。 当然，也有很多职业数学家，他们在学术生涯里也不断为数学的传播做着

序二 巨大努力。比如英国华威大学的lan Stewart。Stewart是著名数学教育家， 直致力于推动数学知识走通俗易懂的道路。他的书深受广大读者喜爱，包括 《数学万花筒》、《数学万花筒2》、《上帝掷骰子吗？》、《更平坦之 地》、《给青年数学家的信》、《如何切蛋糕》等。 回到顾森的这本书上。书的很多章节题目都很吸引人，比如“数学之美”、 “几何的大厦”、“精妙的证明”。书的特点就是将抽象、枯燥的数学知识，通过 创造情景深入浅出地展现出来，让读者在愉悦中学习数学。比如“概率论教你 说谎”、“找东西背后的概率问题”、“统计数据的陷阱”等内容，就是利用一些 趣味性的话题，一方面可以轻松地消除读者对数学的畏惧感，另一方面又可以 把概率和统计的原始思想糅合在这些小段子里。 数学是美丽的。对此有切身体会的陈省身先生在南开的时候曾亲自设计 了“数学美”的挂历，其中12幅画页分别为复数、正多面体、刘徽与祖冲之、圆 周率的计算、数学家高斯、圆锥曲线、双螺旋线、国际数学家大会、计算机的 发展、分形、麦克斯韦方程和中国剩余定理。这是陈先生心目中的数学之美。 我的好朋友刘建亚教授有句名言：“欣赏美女需要一定的视力基础，欣赏数学 美需要一定的数学基础。”此书的第二部分“数学之美"就是要通过游戏、图 形、数列等浅显概念让有简单数学基础的读者朋友们也能领略到数学之美。 我发现顾森的博客里谈了很多作图问题，这和网上大部分数学博客不同。 作图是数学里一个很有意思的部分，历史上有很多相关的难题和故事（最著名 的可能是高斯19岁时仅用尺规就构造出了正17边形的故事)。本书的第三部 分专门讲了“尺规作图问题”、“单规作图的力量”、“火柴棒搭成的几何世界”、 “折纸的学问”、“探索图形剪拼”等，愿意动动手的数学爱好者绝对会感到兴 奋。对于作图的乐趣和意义，我想在此引用本人在新浪微博上的一个小段子加 以阐述

序二 学生：“咱家有的是钱，画图仪都买得起，为啥作图只能用直尺和圆规， 有时还只让用其中的一个？” 老师：“上世纪有个中国将军观看学生篮球赛。比赛很激烈，将军却慷概 地说，娃们这么多人抢一个球？发给他们每人一个球开心地玩。” 数学文化微博评论：生活中更有意思的是战胜困难和挑战所赢得的快乐和 满足。 书的最后一部分命名为“思维的尺度”，“俄罗斯方块可以永无止境地玩下 去吗？”、“比无穷更大的无穷”、“无以言表的大数”、“不同维度的对话”等话 题一看起来就很有意思，作者试图通过这些有趣的话题使读者享受数学概念间 的联系、享受数学的思维方式。陈省身先生临终前不久曾为数学爱好者题 词：“数学好玩。”事实上顾森的每篇文章都在向读者展示数学确实好玩。数学 好玩这个命题不仅对懂得数学奥妙的数学大师成立，对于广大数学爱好者同样 成立。 见过他本人或看过他的相片的人一定会同意顾森是个美男子，有阳刚之 气。很高兴看到这个英俊才子对数学如此热爱。我期待顾森的书在不久的将来 会成为畅销书，也期待他有一天会成为马丁·伽德纳这样的趣味数学大师。 汤涛 《数学文化》期刊联合主编 香港浸会大学数学讲座教授 2012.35 9

前言 前言 顾森 依然记得在我很小的时候，母亲的一个同事考了我一道题：一个正方形， 去掉一个角，还有多少个角？记得当时我想都没想就说：“当然是三个角。”然 后，我知道了答案其实应该是五个角，于是人生中第一次体会到顿悟的快感。 后来我发现，其实在某些极端情况下，答案也有可能是四个角或者三个角。我 由衷地体会到了思考的乐趣。 从那时起，我就疯狂地爱上了数学，为一个个漂亮的数学定理和巧妙的数 学趣题而倾倒。我喜欢把我搜集到的东西和我的朋友们分享，将那些恍然大悟 的瞬间继续传递下去。 2005年，博客逐渐兴起，我终于找到了一个记录趣味数学点滴的完美工 具。2005年7月，我在MSN上开办了自己的博客，后来几经辗转，最终发展 成了一个独立网站htp:www.matrix67.com。几年下来，博客里已经累积了 上千篇文章，订阅人数也增长到了五位数。 在博客写作的过程中，我认识了很多志同道合的朋友。2011年初，我有 幸认识了图灵公司的朋友。在众人的鼓励下，我决定把我这些年积累的数学话 题整理成册，与更多的人一同分享。我从博客里精心挑选了一系列初等而有趣 的文章，经过大量的添删和修改，有机地组织成了五个相对独立的部分。如果 你是刚刚体会到数学之美的中学生，这本书会带你进入一个课本之外的数学花 园；如果你是奋战在技术行业前线的工程师，这本书或许能不断给你带来新的 灵感；如果你并不那么喜欢数学，这本书或许会逐渐改变你的看法.不管怎