《概率论与数理统计 probability theory & mathematical statistics》课程教学资源（参考文献）概率论教学中“独立性”概念的一点注释

·30 统计数育 2006年第1期 概率论教学中 浊安性”概念的一点注释 文/倪中新夏宁茂刘剑平 摘要：独立性是概率论中一个非常重要的概念：对 本为正品的产品判为正品的概率为0.90，判为次品的 于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题 概率为0.10：而将原本为次品的产品判为正品的概率 全过程。学生在初学概率论时，对独立性容易判错：有 为0.20，判为次品的概率为0.80。现规定若三人中至 时，这种错误很难被发现，因此会导致一些看似“岸论” 少两人将此产品判为正品，则接受整批，否则拒绝，试 的结论。本文指出了在处理全概率公式与重Bernoulli 计算该批产品的接受概率。 试验嵌套的问题时学生客易犯的事件独立性判定错 对于上述问题仔细分析不难发现其实是由全概率 误。另外，对于随机变量的独立性判定，本文也作了一 公式与重Bernoulli试验嵌套构成的问题。现有以下两 些讨论。 一、事件的独立性 、98编8品福船09细 学生在初学概率论时，对于事 68 件的独立性大多较难正确理解和掌 握，尤其在解决全概率公式与重 Bernoulli试验嵌套的问题时容易犯 事件独立性判定错误，而且这种错 误有时较难发现。究其原因，主要是 违反了Beroul山i试验中对独立性的 要求。下面通过一个典型的例题来 作一分析。 例1：某厂家有一批产品，其中 正品率为80%，次品率为20%。现 有三人组成一个检查小组对该产品进行抽查。今从中 种解答，请比较： 任抽一只，由每个人分别对其进行检验，假定每人将原 解法1：令A:“任意抽取的产品恰为正品

总第76期 教学参考 31 B:“所取产品被某人判为正品” 的乘积.即：pxv(x,y)=p.(X)p(y)。 C:“该批产品被接受“ 除此之外，也有很多教师在讲课过程中会补充如下 由全概率公式得： 结论： P(A)=P(A)·P(BIA)+P(A)·P(BIA) 命题：设(X,Y)的联合密度函数为px(x,y),则 =0.8×0.9+0.2×0.2=0.76 有：X,Y相互独立p.(x,y)可变量分离，即 因此，该批产品的接受概率为： p.y(x,y)=g(x)h(y)。 P(C)=C0.762(1-0.76)+C'0.761-0.76)° 上述命题在快速判定随机变量的独立性时非常方 =0.854848 便实用，但需要注意的是上述命题中的变量分离实际上 解法2：令A:“任意抽取的产品恰为正品” 不仅包括函数表面上的变量分离，而且还要求密度函数 C:“该批产品被接受” 非零区域（即支撑集）的变量可分离，即密度函数非零区 由全概率公式得： 域中y与x互不依赖。现结合下述例题作一说明。 P(A)=P(A)·P(CIA)+P(A)·P(CIA) 例2：设随机变量(X,Y)的联合密度函数为： 又由于： p(xy）= 2e',0