华东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第5章 极限定理初步

第5章中心极限定理与大数定律 大数定理： 讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系 列定理 中心极限定理： 讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限 分布为正态分布的一系列定理 返回

返回 大数定理： 讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系 列定理 中心极限定理： 讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限 分布为正态分布的一系列定理 第5章 中心极限定理与大数定律

1.大数定律 定义设随机变量序列{X},如果存在一个常数列4n,使 得对任意的>0，有 lim P -an <￡=1 n→ao n 则称X}服从大数定律. 返回

返回 1. 大数定律 定义 设随机变量序列{Xn},如果存在一个常数列 ,使 得对任意的ε>0，有 1 lim 1 n i i n n X P a n  = →          −  =        则称{Xn }服从大数定律. an

大数定理 马尔可夫大数定理 切比雪夫大数定理 泊松大数定理 伯努利大数定理 辛钦大数定理 返回

返回 大数定理 切比雪夫大数定理 辛钦大数定理 伯努利大数定理 马尔可夫大数定理 泊松大数定理

定理1（马尔可夫大数定律） 设X}为随机变量序列，且有 i=1 >0(n>oo）) 则对任意的>0，有 r空xΣx水- 正由比霄夫不等式r-<时21-月 r空小2 i= e'n 返回

返回 定理1 (马尔可夫大数定律) 设{Xn}为随机变量序列,且有 则对任意的ε>0 ,有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =     1 2 ( ) 0 ) n i i D X n n = → →   （   2 1 1 2 2 2 1 1 ( ) 1 1( ) ( ) 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i D X X EX D X D X n X EX n n n      = = = = −   −     −   − = − →       由切比雪夫不等式：P 得 P 证:

定理2（切比雪夫大数定律)设{X}是两两不相关随机变 量序列，方差一致有界DXon20，有 n>∞ 空x空- 证：由切t吉夫不等或r-y21- 得 空a小， i= ≥1 nC n2 →1 返回

返回 定理2 (切比雪夫大数定律) 设 {Xn}是两两不相关随机变 量序列,方差一致有界D(Xn )=σn 2 0,有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =       2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i D X X EX D X D X n nC P X EX n n n n       = = = = −   −     −   − = −  − →       证: 由切比雪夫不等式P 得

定理3（泊松大数定律） 设每次试验中事件A发生 的概率为p。n次重复独立试验中事件A发生的次 数为4，事件的频率“，则对任意ε>0，有 lim P ∞ 证 定义 第k次A发生 10 第k次A不发生 Ex,=A,DX,=n0-A)s号 =1 n c-空-空网小- 返回

返回 1 lim 1 n i n i n p P n n   = →         −  =        定理3 (泊松大数定律) 设每次试验中事件A发生 的概率为 ，n次重复独立试验中事件A发生的次 数为 ,事件的频率 n n ,则对任意ε>0,有  n 1 1 1 1 1 n n i i i i P X EX n n  = =     −  =     证: 1 n i n i p P n n   =       −  =        1 1 , , (1 ) 0 4 k k k k k k k A X EX p DX p p k A  = = = −    第 次 发生 定义: 第 次 不发生 pk

定理4 (伯努里利大数定律)设每次试验中事件A发生 的概率为p,n次重复独立试验中事件A发生的次数 为4m,事件的频率有4z,则对任意e>0 台小水-1 1→00 (伯努里利大数定律是泊松大数定律的特例 意义：Bernoulliz大数定理表明当试验次数无限增 加时事件A的频率按概率收敛到事件A的概率. 这为频率的稳定性提供了理论依据」 返回

返回 lim = 1       −  →   p n P n n 定理4 (伯努里利大数定律) 设每次试验中事件A发生 的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数 为 ，事件的频率有 ,则对任意ε>0, n n n (伯努里利大数定律是泊松大数定律的特例) 意义： Bernoulli大数定理表明当试验次数无限增 加时事件 A 的频率按概率收敛到事件 A 的概率. 这为频率的稳定性提供了理论依据

定理5（辛软大数定律）设{X}为相互独立的随机变量序列 且有相同期望EX)=u,(=1,2,…),则对任意的ε>0，有 2x4- n-0 注意 辛钦大数定理成立的条件中只需X的数学 期望存在；而当X的方差存在时，其即为切比雪夫大 数定理的直接推论 大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础： 返回

返回 1 1 lim 1 =        −  = →   n i i n X n P 定理5 (辛钦大数定律)设{Xi}为相互独立的随机变量序列, 且有相同期望E(Xi )=u,(i=1,2,...),则对任意的ε>0 ,有 大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础. 注意 辛钦大数定理成立的条件中只需 的数学 期望存在；而当 的方差存在时，其即为切比雪夫大 数定理的直接推论. Xi Xi

1.中心极限定理： 概率论中有关论证随机变量和的 极限分布是正态分布(Gauss)分布 的一系列定理。 Garlfriadich aus (1772185 意义：大量的独立同分布的随机变量之和的分 布可近似认为是正态分布 这是数理统计中大样本问题研究的理论基础 返回

返回 1.中心极限定理： 概率论中有关论证随机变量和的 极限分布是正态分布(Gauss)分布 的一系列定理。 意义:大量的独立同分布的随机变量之和的分 布 可近似认为是正态分布. 这是数理统计中大样本问题研究的理论基础

定理6林德贝格-勒维定理（独立同分布中心极限定理 设X1,X2…,X…为独立同分布序列，期望μ，方差02>0，设 ∑X,-n4 Y 分布函数为F,(x),则对任意x有 no ∑X-nu () ≤x=Φ(x) n→o0 注以上定理表明只要n比较大，就有近似结果 ∑X,~N(nu,no2 i= 返回

返回 定理6 林德贝格-勒维定理(独立同分布中心极限定理) 设X1 ,X2 ,…,X n ,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ2>0,设 X ~ N( n ,n ) 2 n i 1  i   = 注 以上定理表明只要n比较大,就有近似结果: lim ( ) lim { } ( ) 1 x x n X n F x P n i i n Y n n  =  − = = → →   分布函数为F（x）则对任意x有 n X n Y Yn n i i n , 1  −  = =