运城学院：《抽象代数 Abstract algebra》课程教学资源（课件讲稿）近世代数 Modern algebra 第四章 环与域 4.1-4.3

抽象代数 4.14.3 YUNCHENG UNIVERSITY 运城学院

抽 象 代 数 4.1~4.3 运 城 学 院

4.1环的定义 1.理解环的定义、例子及运算性质 2.理解子环的定义及判定 3.理解循环环的定义与性质

4.1 环的定义 1. 理解环的定义、例子及运算性质 2. 理解子环的定义及判定 3. 理解循环环的定义与性质

4.1环的定义 一个交换群的代数运算称为加法并用+表示时， 称其为一个加群。 单位元用0表示，并称为零元[e,单位元]，有 a+0=0+a=a[ae=ea=a。 元素a的逆元用-a表示，并称为a的负元(a',逆 元)，有a+(-a)=-a+a=0[aal=ala=e。 记a-b=a+(-b),称为a与b的差，此为减法运算

4.1 环的定义 一个交换群的代数运算称为加法并用+表示时， 称其为一个加群。 单位元用0表示，并称为零元[e，单位元]，有 a+0=0+a=a[ae=ea=a]。 元素a的逆元用-a表示，并称为a的负元(a-1，逆 元)，有a+(-a)=-a+a=0[aa-1=a-1 a=e]。 记a-b=a+(-b)，称为a与b的差，此为减法运算

4.1环的定义 a-a=0 -(-a=a a+c=ba=b-c -(a+b)=-a-b -(a-b)=b-a

4.1 环的定义 a-a=0 -(-a)=a a+c=ba=b-c -(a+b)=-a-b -(a-b)=b-a

4.1环的定义 对正整数n,有 na=a+a+...+a 0a=0 (-n)a=n(-a)=-na ma+na=(m+n)a m(na)=(mn)a n(a+b)=na+nb

4.1 环的定义 对正整数n ，有 na=a+a+…+a 0a=0 (-n)a=n(-a)=-na ma+na=(m+n)a m(na)=(mn)a n(a+b)=na+nb

4.1环的定义 加群的非空子集H是子群 Va,b∈H有a+b∈H → Va∈H有-a∈H →Va,b∈H有a-b∈H

4.1 环的定义 加群的非空子集H是子群 , - a b H a b H a H a H   +      有 有     a b H a b H , - 有

4.1环的定义 设非空集合R有两个代数运算，一个叫加法（用+ 表示)，另一个叫做乘法，若 1)R对加法作成一个加群， 2)R对乘法满足结合律，即对任意的α，b,c∈R, 有(ab)c=a(bc), 3)乘法对加法满足左右分配律，即对任意的 a,b,c∈R,有 a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 则称R对这两个代数运算作成一个环

4.1 环的定义 设非空集合R有两个代数运算，一个叫加法(用+ 表示)，另一个叫做乘法，若 1) R对加法作成一个加群， 2) R对乘法满足结合律，即对任意的 ， 有(ab)c=a(bc)， 3) 乘法对加法满足左右分配律，即对任意的 ，有 a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca 则称R对这两个代数运算作成一个环。 a b c R , ,  a b c R , , 

4.1环的定义 如果环R的乘法满足交换律，即对任意的a,b∈R, 有ab=ba,则称环R为交换环，否则称R为非交 换环。 若环R只含有有限个元素，则称R为有限环，否 则称R为无限环。有限环R的元素个数称为R的 阶，无限环的阶称为无限，R的阶用R表示

4.1 环的定义 如果环R的乘法满足交换律，即对任意的 ， 有ab=ba，则称环R为交换环，否则称R为非交 换环。 若环R只含有有限个元素，则称R为有限环，否 则称R为无限环。有限环R的元素个数称为R的 阶，无限环的阶称为无限，R的阶用 表示。 a b R ,  R

4.1环的定义 例1：Z、Q、R、C关于数的普通加法、乘法都 是换环，无限，可换。 数域F上全体多项式集合，对多项式的普通加法、 乘法是环，无限，可换。 数域F上全体阶方阵集合，对矩阵的普通加法 乘法是环，无限，一般非交换

4.1 环的定义 例1：Z、Q、R、C关于数的普通加法、乘法都 是换环，无限，可换。 数域F上全体多项式集合，对多项式的普通加法、 乘法是环，无限，可换。 数域F上全体n阶方阵集合，对矩阵的普通加法， 乘法是环，无限，一般非交换

4.1环的定义 例2：设R是一个加群，对任意的a,b∈R,规定 ab=0,则R是一个环，称为零乘环，可换。 例3：R是整数集，规定 ab=a+b-1 aob=a+b-ab 是一个交换环

4.1 环的定义 例2：设R是一个加群，对任意的 ，规定 ab=0，则R是一个环，称为零乘环，可换。 例3：R是整数集，规定 是一个交换环。 a b R ,  a b a b  = + −1 a b a b ab = + −