运城学院：《抽象代数 Abstract algebra》课程教学资源（课件讲稿）近世代数 Modern algebra 第二章 群 2.4-2.6

抽象代数 2.4~2.6 YUNCHENGUNIVERSITY 运城学院

抽 象 代 数 2.4~2.6 运 城 学 院

2.4循环群 1.理解生成子群、生成系、循环群的定义 2.能表示循环群中的元素，知道循环群的生成元 3.理解在同构意义下，循环群只有两类 4.掌握循环群子群的情况

2.4 循环群 1. 理解生成子群、生成系、循环群的定义 2. 能表示循环群中的元素，知道循环群的生成元 3. 理解在同构意义下，循环群只有两类 4. 掌握循环群子群的情况

2.4循环群 设M是群G的非空子集， 则G中包含M的子群一定存在，G本身就是一个， G中所有包含M的子群的交记作,则 ≤G,且M≤(M〉。 易知G中任意一个包含M的子群必然包含, 所以是G中包含M的最小子群

2.4 循环群 设M是群G的非空子集， 则G中包含M的子群一定存在，G本身就是一个， G中所有包含M的子群的交记作，则 ≤G，且 。 易知G中任意一个包含M的子群必然包含， 所以是G中包含M的最小子群。 M M   

2.4循环群 定义：称为群G中由子集M生成的子群，并 称M是的一个生成系。 1)一个群或子群可能有很多个生成系。 2)M中元素可以是无限个，也可以是有限个，当 M={al,a2,,an}时，也记为,特别M={a}时，记=,这就是循环 群

2.4 循环群 定义：称为群G中由子集M生成的子群，并 称M是的一个生成系。 1) 一个群或子群可能有很多个生成系。 2) M中元素可以是无限个，也可以是有限个，当 M={a1, a2, …, an}时，也记为，特别M={a}时，记=，这就是循环 群

2.4循环群 定义：如果群G可以由一个元素a生成，即 G=,则称G为由a生成的循环群，并称a为G 的一个生成元。 G=(a〉={…，a2,a,a°=e,a,a2,…} 若群的运算是加法 G=(a)={…,-2a,-a,0a=0,a,2a,…}

2.4 循环群 定义：如果群G可以由一个元素a生成，即 G=，则称G为由a生成的循环群，并称a为G 的一个生成元。 若群的运算是加法 2 1 0 2 G a a a a e a a = { , , , , , } − −   = = ， G a a a a a a = ={ 2 , , 0 0, , 2 , }   − − =

2.4循环群 循环群必为交换群 例1：（亿，+）是循环群，Z==。 例2：Un是n阶循环群，任意一个n次单位原根都 是它的生成元

2.4 循环群 循环群必为交换群 例1：(Z, +)是循环群，Z==。 例2：Un是n阶循环群，任意一个n次单位原根都 是它的生成元

2.4循环群 定理：1)当a=+o时， G=(a={,a2,a1,a°=e,a,a2,…} 为无限循环群，且与（亿，+）同构。 2)当a=n时， G-a={e,a,a2,,a”-} 为n阶循环群，且与Un同构

2.4 循环群 定理：1) 当 时， 为无限循环群，且与(Z, +)同构。 2) 当 时， 为n阶循环群，且与Un同构。 a = + 2 1 0 2 G a a a a e a a = ={ , , , , , } − −   = ， a n = 2 1 = ={ , , , } n G a e a a a −  

2.4循环群 由此定理可知，无限循环群彼此同构，有限同阶 循环群彼此同构，因此，在同构的意义下，循环 群只有两种，即（亿，+）和Un(n∈Z+)。 推论：n阶群G是循环群G有n阶元素 对n阶循环群，有且只有n阶元为生成元

2.4 循环群 由此定理可知，无限循环群彼此同构，有限同阶 循环群彼此同构，因此，在同构的意义下，循环 群只有两种，即(Z, +)和Un( )。 推论：n阶群G是循环群G有n阶元素。 对n阶循环群，有且只有n阶元为生成元。 n Z+ 

2.4循环群 对于正整数n,Eulari函数on)是小于等于n的正 整数中与n互质的数的数量。 定理：无限循环群有两个生成元，即a与al,n 阶循环群有φ()个生成元。 例3：4、5、6阶循环群分别有2、4、2个生成元

2.4 循环群 对于正整数n，Eular函数φ(n)是小于等于n的正 整数中与n互质的数的数量。 定理：无限循环群有两个生成元，即a与a -1 ，n 阶循环群有φ(n)个生成元。 例3：4、5、6阶循环群分别有2、4、2个生成元

2.4循环群 定理：循环群的子群仍为循环群。 定理：无限循环群G有无限多个子群 G=为n阶循环群时，对n的每个正因数k, G有且只有一个k阶子群，为(a)

2.4 循环群 定理：循环群的子群仍为循环群。 定理：无限循环群G有无限多个子群 G=为n阶循环群时，对n的每个正因数k， G有且只有一个k阶子群，为 。 n k   a