西南交通大学：《电磁场与电磁波》第八章 平面电磁波

第八章平面电礅波 主要内容 理想介质中的平面浪,平面波极化特性,平面边界 上的正投射,任意方向传播的平面波的表示,平面边界 上的斜投射,各向异性媒质中的平面波。 1.波动方程 在无限大的各向同性的均匀线性媒质中,时变电磁场的方程为 VE(r, t-ue aE(r, t a(r, * +-Vp(r, t) t VH(r, t)-ue 2H(r,) V×J(r,) 上式称为非齐次浪动方程

第八章 平面电磁波 主 要 内 容 理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界 上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界 上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。 1. 波动方程 在无限大的各向同性的均匀线性媒质中，时变电磁场的方程为        = −    − +    =    − ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) 2 2 2 2 2 2 t t t t t t t t t t J r H r H r r E r J r E r      上式称为非齐次波动方程

式中 J(r,1)=J'(r,1)+OE(r,t 其中丿(r是外源。电荷体密度p(r,1)与传导电流(E)的关系为 V·(GE)= at 若所讨论的区域中没有外源,即J=0,且媒质为理想介质, 即σ=0,此时传导电流为零,自然也不存在体分布的时变电荷,即 p=0,则上述波动方程变为 VE(r,t)-ua aE(r 0 VH(r,t-ua H(=0 at 此式称为齐次波动方程。 对于研究平面浪的传播特性,仅需求解齐次波动方程

式中 J(r,t) = J (r,t) +E(r,t), 其中 J (r, 是外源。电荷体密度 t)  (r, t)与传导电流 (E ) 的关系为 t    = −  (E) 若所讨论的区域中没有外源，即 J ' = 0 ，且媒质为理想介质， 即  = 0，此时传导电流为零，自然也不存在体分布的时变电荷，即  = 0，则上述波动方程变为        =    − =    − 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 t t t t t t H r H r E r E r   此式称为齐次波动方程。 对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动方程

若所讨论的时变场为正弦电磁场,则上式变为 VE(r+ke(r=0 V2H(r)+k2H(r)=0 此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程,式中k=0VAE 在直角坐标系中,可以证明,电场强度E及磁场强度H的各个分 量分别满足下列方程: VE2(r)+k2E2(r)=0 V2H(r)+k2H(r)=0 VE,(r)+kE,(r)=0 VH,(r)+k2H,(r)=0 V2E.(r)+k2E.(r)=0 VH(r+kH(r)=0 这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。 由于各个分量方程结构相同,它们的解具有同一式

若所讨论的时变场为正弦电磁场，则上式变为      + =  + = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 H r H r E r E r k k 此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中 k =  在直角坐标系中，可以证明，电场强度E 及磁场强度 H 的各个分 量分别满足下列方程：       + =  + =  + = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 r r r r r r z z y y x x E k E E k E E k E       + =  + =  + = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 r r r r r r z z y y x x H k H H k H H k H 这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。 由于各个分量方程结构相同，它们的解具有同一形式

在直角坐标系中,若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关, 则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。 例如,若场量仅与z变量有关,则可证明E2=H1=0,因为若场 量与变量x及y无关,则 aE aEaE aE V·E ay az az aHah ahaH V h 因在给定的区冲中,V.E=0.VH缸两式得 aE aH =0 考虑到 OE aE OE E ay az az OHOHOHOH 代入标量亥姆霍兹方程,即知z坐标分量E.=H2=0

在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关， 则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。 例如，若场量仅与z 变量有关，则可证明 ，因为若场 量与变量 x 及 y 无关，则 E z = H z = 0          =   +   +     =   =   +   +     = z H z H y H x H z E z E y E x E x y z z x y z z H E 因在给定的区域中，   E = 0,  ，由上两式得  H = 0 = 0   =   z H z Ez z 代入标量亥姆霍兹方程，即知 z 坐标分量 E z = H。 z = 0 考虑到 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =   =   +   +    = z H z H y H x H H z z z z z 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =   =   +   +    = z E z E y E x E E z z z z z

2.理想介质中的平面浪 已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥 姆霍兹方程 V2E(r)+k2E(r)=0 lV2H(r)+k'H(r)=0 若电场强度E仅与坐标变量z有关,与x,y无关,则电场强度不可 能存在z分量。 令电场强度方向为x方向,即E=eE,则磁场强度H为 H=wxE=Vx(e、E) Ou O (VEx)×ex+EV×e] (VE)×e

2. 理想介质中的平面波 已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥 姆霍兹方程      + =  + = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 H r H r E r E r k k 若电场强度E 仅与坐标变量 z 有关，与 x , y 无关，则电场强度不可 能存在 z 分量。 令电场强度方向为x方向，即 E = e x Ex ，则磁场强度 H 为 ( ) j j x Ex H =  E =  e   x x x =   e +  e = ( ) e j [( ) ] j Ex Ex Ex  

因 vEx=0x0×e的 aE Oy*e oE aE 得H aE aE H H 已知电场强度分量E满足齐次标量亥姆霍兹方程,考虑到B=2E=0 得 de +k2E.=0 dz 这是一个二阶常微分方程,其通解为 e=Ee+E 上式第一项代表向正z轴方向传播的浪,第〓项反之。 首先仅考虑向正z轴方向传播的浪,即 E()= Ere 式中E0为z=0处电场强度的有效值

z E z E y E x E E x z x z x y x x   =   +   +    = e e e e 因 x z E H x y   =  j y y x y H z E H e = e   =  j 得 已知电场强度分量Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程，考虑到 = 0   =   y E x Ex x 0 d d 2 2 2 + x = x k E z E 得 这是一个二阶常微分方程，其通解为 kz x kz Ex Ex E j 0 j 0 = e +  e − 上式第一项代表向正z 轴方向传播的波，第二项反之。 首先仅考虑向正z 轴方向传播的波，即 kz x Ex E z j 0 ( ) e − = 式中Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值

E(z)对应的瞬时值为 E(=,1)=√2Esi(Ot-k=) E(=,1) 电场强度随着时间t及空间z的 变化浪形如图示。 可见,电磁浪向正z方向传播。 :?:小 上式中t称为时间相位。k称 为空间相位。空间相位相等的点组成 的曲面称为浪面。 =0 T 4 由上式可见,z=常数的平面为 波面。因此,这种电磁波称为平面波。 因E()与xy无关,在z=常 数的浪面上,各点场强振幅相等。因 此,这种平面波又称为均匀平面波

Ex (z) 对应的瞬时值为 ( , ) 2 sin( ) 0 E z t E t kz x = x  − 电场强度随着时间t 及空间 z 的 变化波形如图示。 Ez (z, t) z O   2   2 3 t1 = 0 上式中  t 称为时间相位。kz 称 为空间相位。空间相位相等的点组成 的曲面称为波面。 由上式可见， z = 常数的平面为 波面。因此，这种电磁波称为平面波。 因 Ex (z) 与 x, y 无关，在 z = 常 数的波面上，各点场强振幅相等。因 此，这种平面波又称为均匀平面波。 4 2 T t = 2 3 T t = 可见，电磁波向正z 方向传播

时间相位变化2π所经历的时间称为电磁浪的周期,以T表示,而 一秒内相位变化2兀的次数称为频率,以/表示。那么由O7=2m的关系 式,得 2 空间相位k变化2所经过的距离称为波长,以4表示。那么由关 系式k=2兀,得 k 由上可见,电磁浪的频率是描述相位随时间的变化特性,而波长描述相 位随空间的变化特性。 由上式又可得 2兀 k 因空间相位变化2π相当于一个全浪,k的大小又可衡量单位长度 内具有的全波数目,所以k又称为波数

f T 2π 1 = =  时间相位变化 2 所经历的时间称为电磁波的周期，以T 表示，而 一秒内相位变化2 的次数称为频率，以f 表示。那么由 的关系 式，得 T = 2π 空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长，以 表示。那么由关 系式 k = 2π ，得 k 2π  = 由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相 位随空间的变化特性。 由上式又可得  2π k = 因空间相位变化 2 相当于一个全波，k 的大小又可衡量单位长度 内具有的全波数目，所以k 又称为波数

根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度,这 种相位速度以v表示。令t-k=常数,得Od-kd=0,则相位速 度v为 dz dt k 相位速度又简称为相速。 考虑到k=0√l 1,又通常相对磁导率1≈1, 因此,理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。 注意,电磁波的相速有时可以超过光速。因此,相速不一定代表 能量传播速度

根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这 种相位速度以 vp表示。令 常数，得 ，则相位速 度 vp 为  t − kz =  dt − kdz = 0 t k z v  = = d d p 考虑到 k = ，得  c c = =  0 0 r r r r 1 1       相位速度又简称为相速。 考虑到一切媒质相对介电常数 ，又通常相对磁导率 ， 因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。  r 1 r 1 注意，电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表 能量传播速度。 在理想介质中，均匀平面波的相速与媒质特性有关。   1 p = = k v

由上述关系可得 f 在真空中 (m)f(MHz)=300 平面波的频率是由波源决定的,但是平面浪的相速与媒质特性有关。 因此,平面波的溲长与媒质特性有关。 由上述关系还可求得 VEoAovEAr vEAr 式中 是频率为∫的平面波在真空中传播时的浪长。 由上式可见,A<,即平面波在媒质的波长小于真空中浪长。这 种现象称为浪长缩短效应,或简称为缩浪效应

v f 由上述关系可得 p =  平面波的频率是由波源决定的，但是平面波的相速与媒质特性有关。 因此，平面波的波长与媒质特性有关。 r r 0 0 0 r r p 1         = = = f f v 由上述关系还可求得 式中 0 0 0 1    f = 0 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。 在真空中， (m) f (MHz) = 300 由上式可见，   0 ，即平面波在媒质的波长小于真空中波长。这 种现象称为波长缩短效应，或简称为缩波效应